Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Оценка точности вычисления генеральной средней
Обозначим точность приближенного равенства буквой ε. Тогда определение точности вычисления генеральной средней по данным выборки сведется к определению вероятности α того, что истинное значение находится в пределах , где ε > 0, т. е. . Для определения вероятности α пользуются распределением величины t: . (4) Если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то величина t при любом n распределена по закону Стьюдента, дифференциальная функция Sk(t) которого имеет следующее выражение , (5) где — постоянный множитель, зависящий только от числа степеней свободы k = п - 1. Символом Г(k) здесь обозначена гамма-функция (интеграл Эйлера): . Из выражения (5) следует, что распределение Стьюдента зависит только от переменной t и параметра k = n - 1. Поэтому когда задана вероятность α, то можно найти такое положительное число tα которое будет зависеть только от α и n по равенству . (6) Учитывая, что , левую часть этого равенства можно преобразовать так: . Следовательно, (7) Полагая , получим . Таблица значений tα определяемых этим равенством, приведена в табл. П.2 приложения. При помощи этой таблицы можно определить одно из трех значений: вероятность α, точность ε или объем выборки п, задаваясь предварительно значениями каких-либо двух из этих величин.
Пример 1. По выборке объема n = 15 найдено = 20,4 и s = 0,8. Определить истинное значение генеральной средней .
Генеральная средняя определяется доверительными границами , где . Зададимся надежностью α = 0,98. Тогда по таблице П.2 приложения при k = п - 1 = 14 находим tа = 2,62. Поэтому . Следовательно, , т. е. .
Пример 2. Установить, какой объем n выборки необходимо взять, чтобы определить по этой выборке генеральную среднюю с точностью и вероятностью α = 0,95.
Так как , то, следовательно, tα= 2. По таблице П.2 приложения для α = 0,95 находим значение tα= 2, которому соответствует k = 60. Поскольку k = п - 1, то п = 61.
Если n > 30, то распределение Стьюдента можно заменить нормальным и тогда . (8) Но , следовательно, . (9) Так как , (10) то, обозначив , получим . (11)
Решая уравнение (10) относительно n, получим . (12) Пример 3.Определить, какой должен быть объем выборки n, если желательно вычислить с вероятностью α = 0,95 и точностью ε = 0,1s.
Согласно таблице П.1 приложения для α = 2Ф(tα) = 0,95, tα = 1,96. Следовательно, при по формуле (12) имеем .
Все изложенное об оценке точности и вероятности вычисления генеральной средней по выборочной средней является справедливым только для случаев, когда выборки берутся из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение случайной величины х или когда распределение х в генеральной совокупности не очень сильно отличается от нормального распределения. Если же распределение х в генеральной совокупности сильно отличается от нормального, то в этом случае вероятность α и точность ε приближенного равенства можно определить только для больших выборок с помощью формул (9) и (10), но полученные значения α и ε не будут точными, а будут носить лишь приближенный характер. Оценка точности вычисления среднего квадратического |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 192. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |