Закон распределения модуля разности.

Если две случайные величины x₁ и x₂ каждая в отдельности имеют нормальное распределение с параметрами  и  и , то модуль разности этих величин

имеет распределение, которое носит название закона распределения модуля разности. Этому закону распределения, например, подчиняются погрешности взаимно расположенных поверхностей и осей, а также погрешности формы деталей: овальность, конусность.

Плотность вероятности (дифференциальная функция) распределения случайной величины r выражается следующим уравнением:

,                         (22)

где  и σ₀ являются параметрами распределения модуля разности r.

Интегральная функция распределения модуля разности r выражается следующим уравнением:

.                   (23)

Произведя замену переменных в уравнениях (22) и (23):

, , ,

получим следующие выражения:

;                                 (24)

.                              (25)

Вид кривой распределения φ(ρ) зависит от значения ρ₀. При ρ₀ = 0 кривая резко асимметрична, при ρ₀ = 3 она совпадает с кривой нормального распределения (рис. 10).

Если обозначить , то уравнение (25) можно заменить следующим уравнением:

,                (26)

так как каждое слагаемое уравнения (25) является функцией Лапласа

Между σ_r,  и ρ₀ существует определенная зависимость, которая определяется через нормированное , обозначаемое λ₀:

.                              (27)

Среднее значение  и среднее квадратическое отклонение σ_r случайной величины r вычисляются по экспериментальным данным. По полученному значению λ₀ определяют ρ₀ при помощи табл. П2 приложения, а по ρ₀ определяют σ_ρ по табл. П3 приложения.

3ная ρ₀ и σ_ρ, можно определить параметры распределения σ₀ и  по следующим формулам:

;                                                     (28)

.                                                    (29)

Пользуясь формулой (26) и известными из опыта значениями  и σ_r можно вычислить вероятность того, что случайная величина r будет находиться в пределах заданных значений.

Пусть, например, в большой выборке из партии втулок среднее значение овальности равно  = 0,06 мм, а среднее квадратичное отклонение σ_r = 0,04 мм. Допускаемое значение овальности r = 0,1 мм. Требуется определить вероятный процент брака во всей партии, если распределение значений r_i подчиняется закону модуля разности.

Определим по формуле (27)

.

Этому значению λ₀ по табл. П.2 приложения соответствует ρ₀ = 1,12, а по табл. П.3 приложения для ρ₀ = 1,12 путем интерполяции имеем σ_ρ = 0,829.

По формуле (28) определяем σ₀:

.

Так как в формуле (26) , а допускаемое r = 0,1, то

.

Подставляя значение ρ и σ₀ в формулу (26), получим

.

По табл. П1 приложения Ф(0,93) = 0,3238 и Ф(3,17) = 0,4992. Следовательно, F(ρ) = 0,3238 + 0,4992 = 0,8230 и вероятный процент годных деталей в партии составит 82,3%, а вероятный процент брака: 100% - 82,3% = 17,7%.