Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей.

Литература [1, 2]

1. Случайное событие, вероятность события. Свойства вероятностей, теоремы сложения и умножения вероятностей. Закон больших чисел.

В теории вероятностей и основанной на ней математической статистике оперируют с рядом специфических понятий, к основным из которых относятся: испытание (опыт), событие, случайная величина, вероятность, частота и частость (рис. 1).

Рис. 1 Понятия теории вероятностей и математической статистики

Испытанием (опытом) называется практическое осуществление какого либо комплекса условий.

Событием называется явление, происходящее в результате осуществления какого либо комплекса условий, т. е. в результате испытания (опыта). События обычно обозначают первыми прописными буквами латинского алфавита A, B, C,...,.

Пример 1. В контейнере находится 75 деталей, из них 10 бракованных.

Опыт – из контейнера извлекаются две произвольно взятые детали.

События:

A – обе извлеченные детали годные; B – одна деталь годная, другая бракованная; C – обе детали бракованные.

Явления или события, происходящие при многократном повторении испытаний, называются массовыми. Если при каждом испытании неизбежно происходит событие А, то такое событие называется достоверным. Если в условиях данного испытания некоторое событие В заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Если же при испытаниях может произойти либо событие А,либо В,либо С и т. д., то такие события называются возможными или случайными. Следовательно, случайным называется такое событие, которое при испытании может либо наступить, либо не наступить. Например, если в ящике находится 100 деталей и среди них одна деталь дефектная, то извлечение из ящика дефектной детали будет случайным событием, так как оно может наступить или не наступить.

Термин случайности ни в коем случае не предполагает, что изучаемое событие беспричинно. Всякое явление, в том числе и то, которое мы называем случайным, имеет свои более или менее сложные причины.

Любое случайное событие обладает той или иной объективной возможностью или необходимостью своего проявления. Для количественной оценки возможности осуществления случайного события пользуются термином вероятность. Вероятность какого-либо события А обозначается символом Р(А) (от слова ргоbabilitas — вероятность) и представляет собой численную меру объективной возможности этого события.

Для сравнения между собой различных событий по степени возможности их осуществления необходимо установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы измерения принята вероятность достоверного события. Вероятность достоверного события принимается равной единице. Вероятность всех других событий — возможных, но не достоверных — будет характеризоваться числами, меньшими единицы, а вероятность невозможного события будет равна нулю.

Вероятность является одним из основных понятий теорий-вероятностей. Существуют классическое и статистическое определение этого понятия. По классическому определению вероятностью события А называется отношение числа случаев т, благоприятствующих этому событию, к числу п всех возможных случаев данного класса испытаний, т. е.

.

При этом число всех случаев n должно быть конечно и все они должны быть равновозможны, несовместны и независимы.

Под несовместными понимаются такие события, которые не могут появляться вместе, одновременно. Под независимыми событиями понимаются такие, появление которых не зависит от того, какое событие произошло перед этим. Под данным классом испытаний подразумевается совокупность неизменных условий, осуществление которых приводит к тому или иному событию. Например, при произвольном бросании монеты вероятность того, что она упадет той стороной, где изображен герб, составляет ¹/₂, так как число случаев, благоприятствующих этому событию, равно 1 (монета имеет только одну сторону с гербом), а число всех возможных случаев данного класса испытаний равно 2 (либо герб, либо надпись). При этом оба случая равновозможны (имеется одинаковая возможность выпасть гербу и надписи), несовместны (появление герба исключает возможность появления надписи) и независимы, так как появление герба не зависит от того, что перед этим выпадало — герб или надпись.

Пример 2. В ящике имеется 100 деталей, все детали замаркированы с № 1 по № 100. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет иметь № 40?

Решение. Число случаев, благоприятствующих данному событию, равно 1, а число всех возможных случаев данного класса испытаний равно 100. При этом все случаи равновозможны, несовместны и независимы друг от друга. Следовательно, искомая вероятность

.

Пользуясь классическим определением понятия вероятности, можно вычислить вероятность какого-либо случайного события теоретически, не прибегая к опыту. Однако это не всегда выполнимо, ибо на практике не всегда можно соблюдать такие условия, как равновозможность, независимость и другие, лежащие в основе классического определения. По этой причине наравне с классическим определением пользуются также статистическим определением вероятности.

При изучении массовых явлений какое-либо случайное событие или случайная величина могут появляться несколько раз в процессе испытаний. Например, пусть при N испытаниях событие А фактически появилось f раз. Число f носит название частоты появления события А. Отношение частоты события А кобщему числу испытаний N носит название частости события или относительной частоты, которую будем обозначать т_А:

.

Например, на станке обработано 100 деталей. При измерении деталей оказалось, что 85 из них имеют размеры, лежащие в пределах допуска, а размеры остальных выходят за пределы допуска. Следовательно, частость события А,заключающегося в появлении годных деталей при 100 испытаниях, составляет

,

а частость события В, заключающегося в появлении брака, .

Если случайное событие имеет устойчивую частость в серии массовых испытаний, т. е. в каждой серии испытаний частость этого события изменяется незначительно и колеблется вблизи некоторого положительного числа, то это число и принимается за вероятность данного события. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что частость появления события А близка к 0,5, то это число и будет приближенно равно вероятности события. Вычисленную таким способом вероятность называют статистической, так как она получена в результате опытов.