Методические указания по решению задач

Кафедра

“Технология машиностроения”

Математическая статистика

В технологии машиностроения

Методическое пособие

2018 г

Содержание

Стр.

Введение                                                                                              

1. Программа дисциплины «Математическая статистика в технологии машиностроения»                                                                               

2. Темы программы дисциплины                                                          

3. Контрольная работа

1. Задания контрольной работы
2. Конспект лекций по темам дисциплины

5.1. Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей

5.2. Тема 2. Законы распределения случайных величин

5.3. Тема 3. Выборочный метод

5.4. Тема 4. Статистическая проверка гипотез. Проверка гипотез о законе распределения случайной величины

5.5. Тема 5. Статистическая проверка гипотез. Проверка гипотез о параметрах распределения случайной величины

5.6. Тема 6. Погрешности механической обработки деталей машин

5.7. Тема 7. Статистический анализ точности механической обработки деталей машин методом больших выборок

5.8. Тема 8. Статистический анализ точности механической обработки деталей машин методами малых выборок и точечных диаграмм

1. Литература
2. Приложение                                                                                           

Введение

Дисциплина «Математическая статистика в технологии машиностроения» относится к базовым дисциплинам цикла дисциплин по выбору (Б1.ДВ.05.1). Учебная дисциплина обеспечивает формирование дисциплинарной части

компетенции ПК-19

Объем дисциплины по учебному плану: всего 144 час.; экзамен 9 час.;

лекции 8 час.; практические занятия 8 час.; КСР 2 час.; СРС час.

Знания, умения и навыки, сформированные при изучении данной дисциплины, позволят выпускникам использовать их при решении проблем, связанных с контролем и управлением качеством технологических процессов изготовления машин и их элементов.

Целью изучения дисциплины является формирование знаний о методах математической статистики, умений и навыков их применения при решении задач механической обработки деталей.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

уметь и обладать навыками:

· вычисления оценок генеральной совокупности по данным выборок;

· выполнения статистической проверки гипотез, формулируемых в исследованиях технологических процессов;

· осуществления статистического анализа точности механической обработки деталей.

Программа дисциплины «Математическая статистика в технологии машиностроения».

Методическая справка.Ниже приведены наименования тем программы дисциплины и вопросы этих тем, подлежащих изучению. Для каждой темы указана литература, в которой в той или иной степени по сложности освоения и необходимому для дисциплины объему изложен материал вопросов рассматриваемой темы. Жирным шрифтом отмечен предпочтительный литературный источник для изучения материала темы. Литературные источники приведены в конце методических указаний.

Рекомендуется при ознакомлении с вопросами темы составить краткий конспект, содержащий основные сведения по вопросам рассматриваемой темы. Этот конспект, составленный по всем темам дисциплины, позволит не только достаточно глубоко уяснить содержание материала изучаемой дисциплины, но может быть использован также во время сдачи экзамена.

Темы программы дисциплины.

Тема 1. Основные понятия и определения из теории вероятностей.

Случайное событие, несовместные и совместные события, зависимые и независимые события. События невозможные и достоверные. Вероятность события, свойства вероятностей. Правила сложения и умножения вероятностей. Сущность закона больших чисел.

Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Параметры процессов механической обработки деталей, являющихся случайными величинами.

Распределение случайной величины. Оценка возможных значений случайной величины в теоретических и эмпирических распределениях. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины.

Числовые характеристики распределения случайных величин. Числовые характеристики положения центра группирования. Основные свойства математического ожидания. Числовые характеристики рассеяния значений случайной величины. Основные свойства дисперсий и средних квадратических отклонений.

Тема 2. Законы распределения случайных величин.

Законы биноминального и редких событий (Пуассона) распределения случайных величин. Закон нормального распределения случайных величин, характеристики отклонений от нормального закона. Законы равной вероятности и эксцентриситета (Релея) распределения случайных величин. Закон распределения модуля разности, экспоненциальный закон распределения случайных величин. Законы распределения Вейбулла и логарифмического нормального распределения случайных величин.

Тема 3. Выборочный метод.

Основные понятия и определения теории выборок (статистическая и эмпирическая совокупности, генеральная совокупность). Выборка, виды выборок (повторная, бесповторная, мгновенная и общая выборки, большая и малая выборки).

Оценки параметров генеральной совокупности. Понятия состоятельности, несмещенности и эффективности оценок параметров генеральной совокупности. Свойства выборочной средней и выборочной дисперсии.

Оценка точности вычисления генеральной средней по данным выборки. Оценка точности вычисления среднего квадратического отклонения генеральной совокупности по данным выборки. Оценка параметров нормального распределения с помощью доверительных интервалов.

Тема 4.Статистическая проверка гипотез. Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины.

Статистическая гипотеза. Основные понятия. Задачи статистической проверки гипотез.

Задача выравнивания статистических рядов. Методика выравнивания статистического распределения изучаемой случайной величины.

Критерии согласия проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины.

Примеры выравнивания статистических рядов.

Тема 5.Статистическая проверка гипотез. Проверка гипотез о параметрах распределения случайной величины.

Проверка гипотезы случайности выборки.

Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних. Проверка гипотезы равенства двух выборочных дисперсий. Проверка гипотезы равенства ряда дисперсий.

Проверка гипотезы о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности.

Тема 6.Погрешности механической обработки деталей машин.

Погрешности механической обработки и законы их распределения.

Теоретические диаграммы точности обработки. Понятие устойчивости процесса обработки во времени.

Задачи и методы статистического анализа точности механической обработки.

Тема 7.Статистический анализ точности механической обработки деталей машин методом больших выборок.

Процедуры статистического анализа точности механической обработки деталей методом больших выборок.

Определение погрешности обработки для процесса IV типа точности.

Определение погрешности обработки для процессов I типа точности.

Определение погрешности обработки для процессов II и III типов точности.

Тема 8. Статистический анализ точности механической обработки деталей машин методами малых выборок и точечных диаграмм.

Статистический анализ посредством малых выборок. Статистический анализ с помощью точечных диаграмм.

Контрольная работа.

Контрольная работа представляет собой отдельный этап деятельности студента, направленный на освоение и закрепление знаний, полученных при самостоятельном изучении материала дисциплины. Она позволяет проверить умение студента применять эти знания при решении конкретных задач, имеющих место при оценке качества механической обработки деталей машин. Структуру контрольной работы составляют 4 отдельные задания, выполнение которых направлено на ознакомление с методиками выполнения статистического анализа выборочных данных из совокупности результатов, характеризующих те или иные стороны процесса механической обработки деталей.

Номер варианта заданий контрольной работы определяется порядковым номером студента в списке группы деканата.

При выполнении каждого задания контрольной работы следует:

· уяснить содержание задания;

· ознакомиться с теоретическими сведениями темы лекции, знание материала которых позволяет успешно выполнить задание;

· конкретизировать постановку общей задачи, согласно исходным данным вашего варианта задания.

· выполнить решение поставленной задачи;

· оформить результаты выполнения задания с приведением задачи задания, последовательности операций решения задачи, их содержания и результатов выполнения каждой операции.

Результаты выполнения контрольной работы оформляются в виде пояснительной записки на одной стороне листов формата А4 с нумерацией страниц. Титульный лист пояснительной записки заполняется по образцу в приложении 1.

По своей структуре пояснительная записка должна иметь следующие разделы:

1) содержание с указанием страниц;

2) результаты выполнения заданий контрольной работы с приведением названия темы задания, конкретной его задачи с таблицей данных выборки, последовательности выполнения операций статистического анализа и т. д. (см. примеры выполнения заданий).

3) список литературы, использованной при выполнении заданий.

Все исправления и дополнения, сделанные по замечаниям преподавателя, вносятся на обратную страницу листа напротив того места, где сделаны замечания.

Проверенная и исправленная контрольная работа предъявляется на экзамене, где проводится ее защита. Защита осуществляется в форме собеседования по вопросам программы дисциплины.

Задания контрольной работы

Требование.Решение нижеприведенных задач привести с пояснениями выполняемых действий, как это выполнено в примерах, приведенных ниже и в темах конспекта лекций.

Все задачи заданий 1, 2 подлежат решению независимо от личного варианта студента.

Задание 1.Тема. Основные понятия теории вероятностей.

Задача 1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Извлекают одну деталь. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется окрашенной. Отв. p = 0,1.

Задача 2. В контейнере 100 деталей с номерами от 1 до 100. Найти вероятность, что первая извлеченная деталь не содержит в номере цифру 5.

Отв. p = 0,81.

Задача 3. По статистическим данным, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10 – для смены резца; 3 – из-за неисправности привода; 2 – из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам.

Отв. p = 0,25.

Задача 4. В двух контейнерах находятся детали: в первом – 10 (из них 3 годные), во втором – 5 (из них 6 стандартных). Из каждого контейнера извлекают по одной детали. Найти вероятность, что извлеченные обе детали окажутся годными.

Отв. p = 0,12.

Задача 5. Вероятность отказа агрегата за время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших агрегатов, если испытанию будут подвергнуты 10 агрегатов.

Отв. агрегата.

Задача 6. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, если известен закон ее распределения:

Отв. .

Задача 7. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (2, 3).

Задание 2.Тема 2. Законы распределения случайных величин.

Задача 1. В партии из 15 деталей имеется 12 стандартных. Производится последовательное извлечение 10 деталей. После каждого извлечения и обследования детали она вновь возвращается в партию, которая затем тщательно перемешивается. Какова вероятность того, что при извлечении по такой схеме 10 деталей среди них окажется 8 стандартных.

Отв. .

Задача 2. Время безотказной работы прибора распределено по экспоненциальному закону , где t – время, час. Найти вероятность того, что прибор проработает безотказно 100 час.

Отв. .

Справка. Вероятность безотказной работы устройства за время t определяется по формуле , где λ - интенсивность отказов.

Задача 3. Проведены измерения отклонения R оси отверстия от геометрической оси валика в партии объемом n =100 валиков и определено среднее значение величины отклонения . Полагая, что случайная величина R распределена по закону эксцентриситета

, где ,

определить вероятностный процент бракованных валиков, если допускаемое отклонение R = 0,020 мкм.

Отв. 13%.

Задача 4. Выполнено шлифование партии валиков. В результате измерений диаметра шлифованных валиков установлено, что среднее арифметическое значение погрешности диаметра  и среднее квадратическое отклонение σ погрешности соответственно равны 0,06 мм и 0,02 мм. Полагая, что случайная величина x распределена по нормальному закону, найти вероятность того, что погрешность обработки очередного валика примет значение в интервале (0,04, 0,08).

Отв. 0,6827.

Примеры решения задач.

Задача 1. Проверена партия втулок и вычислено среднее арифметическое значение их овальности мм и среднее квадратическое отклонение мм. Допускаемое значение овальности мм. Определить вероятный процент брака во всей партии, если распределение значений овальности подчиняется закону модуля разности.

Решение. Согласно приведенной ниже справке, вероятный процент брака во всей партии найдем втулок, выполняя следующие процедуры.

1. Определим нормированное значение  среднего арифметического

.

2. По таблице 2 приложения для λ₀ = 1,5 находим ρ₀ = 1,12, а по таблице 3 приложения для ρ₀ = 1,12 путем интерполяции имеем σ_ρ = 0,829.

3. Вычислим параметр σ₀

.

4. По условию задачи допускаемое значение овальности втулок r = 0,1. Следовательно

.

5. Введем переменные  и  в уравнении интегральной функции закона модуля разности. Получим

.

Полученные интегралы являются функцией Лапласа .

6. Подставив значения ρ и ρ₀ в выражения  и , найдем

.

По таблице 1 приложения Ф(0,93) = 0,3238 и Ф(3,17) = 0,4992. Следовательно, F(2,5) = 0,3238 + 0,4992 = 0,8230. Это означает, что вероятный процент годных деталей в партии составит 82,3%, а вероятный процент брака: 100% - 82,3% = 17,7%.

Задача 2. На участке имеется пять одинаковых станков, коэффициент использования которых по времени составляет 0,8. Какова вероятность того, что в середине смены при нормальном ходе производства из пяти таких станков будет работать только 4 станка, а один не работать?

Решение. Если считать под событием A - «станок работает», то по условиям задачи вероятность этого события составляет p = 0,8, а события «станок не работает» - q = 0,2. Так как общее число станков на участке n = 5 и необходимо определить вероятность того, что в данный момент работают только 4 станка(k = 4), то полагая, что случайная величина k распределена по биноминальному закону, находим

.

Задача 3. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание  и среднее квадратическое отклонение σ этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что значение случайной величины X примет значение в интервале (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой . По условию задачи, , , , , следовательно

.

По таблице 1 приложения находим . Используя это значение, находим

.

Задача 4. Непрерывная величина X распределена по показательному закону

.

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.

Решение. По условию λ = 5. Следовательно [1, с. 151],

Задание 3.Тема 3. Выборочный метод. Оценка точности вычисления

параметров генеральной совокупности по данным выборки

(выбор задачи выполняется в соответствии с порядковым номером студента в списке группы (деканата)

Задача 1. Из текущей продукции плоскошлифовального станка, обрабатывающего пластины, взята выборка объемом n = 10 шт. Была измерена шероховатость R_а, мкм поверхности пластин. Результаты измерений сведены втаблицу, в которой параметр R_а шероховатости с целью упрощения записи обработки данных обозначен через x_i.

Таблица. Результаты измерений высоты неровностей R_а, мкм поверхности пластин

По данным выборки определить, с какой вероятностью α генеральная средняя будет находиться в интервале , если .

Задача 2. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики D = 2^+0,02 мм и длиной L = 10мм, была взята выборка объемом n = 10 шт. для проверки конусности. Ниже в таблице приведены значения конусности роликов в мм.

Таблица. Величина конусности роликов в мм

Определить точность ε вычисления генеральной средней  по данным выборки при вероятности α приближенного равенства  равной α = 0,95.

Задача 3. Для контроля точности обработки роликов на токарном автомате планируется периодически из текущей продукции автомата извлекать выборку роликов. Предварительно была произведена выборка объемом n = 10 роликов для проверки их конусности. Результаты измерения конусности роликов приведены таблице.

Таблица. Величина конусности роликов в мм

Установить, каким объемом n необходимо брать выборки, при котором среднее квадратическое отклонение s выборки будет отличаться от σ₀ генеральной совокупности на  при вероятности α = 0,95.

Задача 4. Из текущей продукции токарного автомата, обрабатывающего валики, взята выборка объемом n = 10 шт. Валики были измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01мм. Результаты измерений сведены втаблицу в виде значений отклонения от номинального размера диаметра валиков в мм.

Таблица. Отклонения x_i от номинального размера диаметра D валиков в мм.

По приведенным данным выборки определить вероятность α приближенного равенства  при точности ε = 0,01.

Задача5. Для контроля качества обработки пластин на плоскошлифовальном станке планируется периодически из текущей продукции станка извлекать выборку пластин. Предварительно была произведена выборка объемом n = 10 пластин, в которых была измерена шероховатость R_а, мкм их поверхности. Результаты измерений сведены втаблицу, в которой параметр R_а шероховатости с целью упрощения записи обработки данных обозначен через x_i.

Таблица. Результаты измерений высоты неровностей R_а , мкм поверхности пластин

Установить, каким объемом n необходимо брать выборки, при котором среднее квадратическое отклонение s выборки будет отличаться от генерального σ₀ на  при вероятности α = 0,95.

Задача 6. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего валики D = 16^+0,02 мм, была взята выборка объемом n = 10 шт. для проверки овальности. Ниже в таблице приведены значения овальности валиков в мм.

Таблица. Величина овальности валиков в мм

По данным выборки определить, с какой вероятностью α генеральная средняя  будет находиться в интервале , если .

Задача 7. Для контроля точности обработки роликов на токарном автомате планируется периодически из текущей продукции автомата извлекать выборку роликов. Предварительно была произведена выборка объемом n = 10 роликов для проверки их конусности. Результаты измерения конусности роликов приведены таблице.

Таблица. Величина конусности роликов в мм

Установить, каким объемом n необходимо брать выборки, чтобы определять по этим выборкам генеральную среднюю  конусности роликов с точностью  при вероятности α = 0,95.

Задача 8. Из текущей продукции плоскошлифовального станка, обрабатывающего пластины, взята выборка объемом n = 10 шт. Была измерена шероховатость R_а, мкм поверхности пластин. Результаты измерений сведены втаблицу, в которой параметр R_а шероховатости с целью упрощения записи обработки данных обозначен через x_i.

Таблица. Результаты измерений высоты неровностей R_а , мкм поверхности пластин

Определить точность ε вычисления генеральной средней  по данным выборки при вероятности α приближенного равенства  равной α = 0,95.

Привести доверительный интервал, в котором находится значение генеральной средней  с вероятностью α = 0,95.

Задача 9. Из текущей продукции токарного автомата, обрабатывающего ролики, взята выборка объемом n = 10 шт. Ролики были измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01мм. Результаты измерений сведены втаблицу в виде значений отклонения от номинального размера диаметра роликов в мм.

Таблица. Отклонения x_i от номинального размера диаметра D роликов в мм.

По данным выборки определить, с какой вероятностью α генеральная средняя будет находиться в интервале , если .

Задача10. Для контроля качества обработки пластин на плоскошлифовальном станке планируется периодически из текущей продукции станка извлекать выборку пластин. Предварительно была произведена выборка объемом n = 10 пластин, в которых была измерена шероховатость R_а, мкм их поверхности. Результаты измерений сведены втаблицу, в которой параметр R_а шероховатости с целью упрощения записи обработки данных обозначен через x_i.

Таблица. Результаты измерений высоты неровностей R_а , мкм поверхности пластин

Установить, каким объемом n необходимо брать выборки, чтобы определять по этой выборке генеральную среднюю  с точностью  при вероятности α = 0,95.

Задача 11. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего валики D = 16^+0,02 мм, была взята выборка объемом n = 10 шт. для проверки овальности. Ниже в таблице приведены значения овальности валиков в мм.

Таблица. Величина овальности валиков в мм

По приведенным данным выборки определить вероятность α приближенного равенства  при точности ε = 0,01.

Задача 12. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего валики D = 16^+0,02 мм, была взята выборка объемом n = 10 шт. для проверки овальности. Ниже в таблице приведены значения овальности валиков в мм.

Таблица. Величина овальности валиков в мм

Определить точность ε вычисления генеральной средней  по данным выборки при вероятности α приближенного равенства  равной α = 0,95.

Задача 13. Из текущей продукции плоскошлифовального станка, обрабатывающего пластины, взята выборка объемом n = 10 шт. Была измерена шероховатость R_а, мкм поверхности пластин. Результаты измерений сведены втаблицу, в которой параметр R_а шероховатости с целью упрощения записи обработки данных обозначен через x_i.

Таблица. Результаты измерений высоты неровностей R_а , мкм поверхности пластин

По приведенным данным выборки определить точность ε приближенного равенства  с вероятностью α = 0,95.

Привести доверительный интервал, в котором с вероятностью α = 0,95 находится значение  генеральной совокупности.

Задача 14. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики D = 2^+0,02 мм и длиной L = 10мм, была взята выборка объемом n = 10 шт. для проверки конусности. Ниже в таблице приведены значения конусности роликов в мм.

Таблица. Величина конусности роликов в мм

По данным выборки определить, с какой вероятностью α генеральная средняя будет находиться в интервале , если .

Задача 15. Из текущей продукции токарного автомата, обрабатывающего ролики, взята выборка объемом n = 10 шт. Ролики были измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01мм. Результаты измерений сведены втаблицу в виде значений отклонения от номинального размера диаметра роликов в мм.

Таблица. Отклонения x_i от номинального размера диаметра D роликов в мм.

По приведенным данным выборки определить точность ε приближенного равенства  с вероятностью α = 0,95.

Задача 16. Из текущей продукции токарного автомата, обрабатывающего ролики, взята выборка объемом n = 10 шт. Ролики были измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01мм. Результаты измерений сведены втаблицу в виде значений отклонения от номинального размера диаметра роликов в мм.

Таблица. Отклонения x_i от номинального размера диаметра D роликов в мм.

Определить точность ε вычисления генеральной средней  по данным выборки при вероятности α приближенного равенства  равной α = 0,95.

Задача 17. Для контроля точности обработки роликов на токарном автомате планируется периодически из текущей продукции автомата извлекать выборку валиков. Предварительно была произведена выборка объемом n = 10 роликов для проверки их овальности. Результаты измерения овальности роликов приведены таблице.

Таблица. Величина овальности валиков в мм

Установить, каким объемом n необходимо брать выборки, чтобы определять по этой выборке генеральную среднюю  овальности роликов с точностью  при вероятности α = 0,95.

Задача 18. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики D = 2^+0,02 мм и длиной L = 10мм, была взята выборка объемом n = 10 шт. для проверки конусности. Ниже в таблице приведены значения конусности роликов в мм.

Таблица. Величина конусности роликов в мм

По приведенным данным выборки определить точность ε приближенного равенства  с вероятностью α = 0,95.

Задача 19. Для контроля точности обработки роликов на токарном автомате планируется периодически из текущей продукции автомата извлекать выборку валиков. Предварительно была произведена выборка объемом n = 10 роликов для проверки их овальности. Результаты измерения овальности роликов приведены таблице.

Таблица. Величина овальности валиков в мм

Установить, каким объемом n необходимо брать выборки, при котором среднее квадратическое отклонение s выборки будет отличаться от генерального σ₀ на  при вероятности α = 0,95.

Задача20. Для контроля точности обработки роликов на токарном автомате планируется периодически из текущей продукции автомата извлекать выборку роликов. Предварительно была произведена выборка объемом n = 10 роликов, которые были измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01 мм. Результаты измерения отклонения диаметра роликов от его номинального размера приведены таблице.

Таблица. Отклонения x_i от номинального размера диаметра D роликов в мм.

Установить, каким объемом n необходимо брать выборки, чтобы определять по этой выборке генеральную среднюю  отклонения от номинального размера диаметра роликов с точностью  при вероятности α = 0,95.

Задача 21. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики D = 2^+0,02 мм и длиной L = 10мм, была взята выборка объемом n = 10 шт. для проверки конусности. Ниже в таблице приведены значения конусности роликов в мм.

Таблица. Величина конусности роликов в мм

По приведенным данным выборки определить вероятность α приближенного равенства  при точности ε = 0,01.

Задача22. Для контроля точности обработки роликов на токарном автомате планируется периодически из текущей продукции автомата извлекать выборку роликов. Предварительно была произведена выборка объемом n = 10 роликов, которые были измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01 мм. Результаты измерения отклонения диаметра роликов от его номинального размера приведены таблице.

Таблица. Отклонения x_i от номинального размера диаметра D роликов в мм.

Установить, каким объемом n необходимо брать выборки, при котором среднее квадратическое отклонение s выборки будет отличаться от генерального σ₀ на  при вероятности α = 0,95.

Задача 23. Из текущей продукции плоскошлифовального станка, обрабатывающего пластины, взята выборка объемом n = 10 шт. Была измерена шероховатость R_а, мкм поверхности пластин. Результаты измерений сведены втаблицу, в которой параметр R_а шероховатости с целью упрощения записи обработки данных обозначен через x_i.

Таблица. Результаты измерений высоты неровностей R_а , мкм поверхности пластин

По приведенным данным выборки определить вероятность α приближенного равенства  при точности ε = 0,01.

Задача 24. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего валики D = 16^+0,02 мм, была взята выборка объемом n = 10 шт. для проверки овальности. Ниже в таблице приведены значения овальности валиков в мм.

Таблица. Величина овальности валиков в мм

По приведенным данным выборки определить точность ε приближенного равенства  с вероятностью α = 0,95.

Примеры решения задач.

Задача 1. Установить, какой объем n выборки необходимо взять, чтобы определить по этой выборке генеральную среднюю  с точностью  и вероятностью α = 0,95.

Решение. Так как , то, следовательно, t_α= 2. По таблице П1 приложения для α = 0,95 находим значение t_α= 2, которому соответствует k = 60.

Поскольку k = п - 1, то п = 61.

Задача 2. По выборке объема n = 15 вычислено среднее квадратическое отклонение s = 0,6. Определить вероятность α приближенного равенства  при точности ε = 0,12.

Решение. Вычислим значение q_s, используя формулу ε = q_ss. Получим

.

По таблице П3 приложения для  и  находим α = 0,701.

Следовательно, среднее квадратическое отклонение  случайной переменной генеральной совокупности с вероятностью α = 0,701 находится в интервале , т. е. .

Задание 4.Тема 4. Статистическая проверка гипотез. Задача

выравнивания статистических рядов

(выбор задачи выполняется в соответствии с порядковым номером студента в списке группы (деканата)

Методические указания по решению задач

1. Рассмотрите теоретические сведения о решении задачи выравнивания статистического ряда случайной величины. Приведите свою задачу выравнивания и таблицу первичного статистического материала (простой статистический ряд) исследуемой случайной величины.

2. Выполните ранжирование значений простой статистической совокупности в порядке их возрастания и приведите таблицу полученного статистического ряда.

3. Установите наименьшее x_min и наибольшее x_max значения статистических данных. Определите размах R распределения по формуле

.

4. Разбейте размах  ранжированного распределения данных на  интервалов и вычислите длину интервала .

5. Подсчитайте частоты значений случайной величины (число наблюдений) по каждому интервалу и составьте таблицу эмпирического распределения. В каждый интервал включаются значения случайной величины x, лежащие в пределах от наименьшего значения интервала включительно до наибольшего значения интервала, исключая наибольшее значение случайной величины x, являющейся граничным значением данного интервала.

6. Постройте график эмпирического распределения случайной величины. Исходя из типа, физической сущности и графика случайной величины, сформулируйте гипотезу о предполагаемом теоретическом законе ее распределения. Приведите уравнение предполагаемого закона распределения рассматриваемой случайной величины.

Задача 1. Выполнена проверка качества деталей путем выборки из общего объема изготовленных деталей 25 партий из 10 деталей каждая. Результаты выявления дефектных деталей в каждой партии приведены в таблице

Таблица. Результаты проверки качества деталей

Постройте таблицу и график эмпирического распределения случайной величины. Исходя из типа, физической сущности и графика случайной величины, сформулируйте гипотезу о предполагаемом законе ее распределения.

Задача 2. Осуществлены испытания наработки изделий до отказа в течении времени t. Испытаны 30 партий по 10 изделий в каждой. В таблице приведены результаты испытаний изделий на отказ в каждой партии.

Таблица. Результаты испытаний надежности изделий

Постройте таблицу и график эмпирического распределения случайной величины. Исходя из типа, физической сущности и графика случайной величины, сформулируйте гипотезу о предполагаемом законе ее распределения.

Задача 3. Выполнена проверка качества деталей путем выборки из общего объема изготовленных деталей 25 партий из 10 деталей каждая. Результаты выявления дефектных деталей в каждой партии приведены в таблице

Таблица. Результаты проверки качества деталей