Види задач на пропорційнеділення

У початкових класах задачі на пропорційне ділення розв’язують лише способом знаходження сталої величини.

У процесі ознайомлення з задачами на пропорційне ділення краще пропонувати їх не в готовому вигляді, а скласти разом з дітьми із задач на знаходження четвертого пропорційного. Це допоможе дітям побачити зв’язки між задачами цих видів, що швидше приведе учнів до узагальнення способу їх розв’язування.

Учням пропонують скласти задачу за її коротким записом:

Розв’язавши задачу, складену за даною умовою, вчитель записує замість знака запитання число, знайдене у відповіді ( 8 грн.). Потім він пропонує знайти суму чисел, які показують вартість зошитів (20 грн.), і скласти задачу за новою умовою:

Діти складають задачі на пропорційне ділення, ставлячи два запитання:

¾ Скільки заплатив перший покупець?

¾ Скільки заплатив другий покупець?

Учитель пояснює, що ці два запитання можна замінити одним:

¾ Скільки грошей заплатив кожний покупець?

В остаточному вигляді задачу формулюють так: “Два хлопчики купили зошити по однаковій ціні. Перший купив 6 зошитів, а другий 4. Усього вони заплатили 20 грн. скільки грошей заплатив кожний хлопчик?”

¾ Про що треба дізнатися в задачі?

¾ Що означає “кожний”?

¾ Чи можна відразу дізнатися, скільки заплатив перший хлопчик?

¾ Чому не можна?

¾ Чи можна відразу визначити ціну зошита?

¾ Чому не можна?

¾ Чи можна відразу дізнатися, скільки купили зошитів на 20 грн.?

¾ Чому можна?

¾ Що визначимо в першій дії; другій; третій; четвертій?

Розв’язання задачі записують у формі окремих дій з поясненнями. Потім розв’язують готові задачі. У цьому разі треба спочатку розчленити запитання задачі на два запитання, потім з’ясувати, яке з шуканих чисел має бути більше і чому; далі слід перейти до складання плану розв’язування, провадячи міркування від запитання до числових даних. Розв’язання перевіряють, встановлюючи відповідність між числами, знайденими у відповіді, і отримати число, задане в задачі

Можливі й інші підходи до введення задач на пропорційне ділення. Можна, наприклад, почати з розв’язування готових задач, а пізніше виконати роботу щодо перетворення задачі на знаходження четвертого пропорційного в задачу на пропорційне ділення, порівнявши як самі задачі, так і їх розв’язання.

Для узагальнення способу розв’язування розглядають задачі на пропорційне ділення I виду з іншими групами величин, після чого вводять задачі II виду, а трохи пізніше – III і IV видів. При цьому поряд із розв’язуванням готових задач слід включати вправи творчого характеру на складання і перетворення задач

М.В. Богданович пропонує ознайомлювати дітей із задачами на пропорційне ділення у 4 класі. Спочатку учні виконують підготовчі завдання. Підготовка учнів до ознайомлення із задачами на пропорційне ділення складається з таких етапів:

1. Розв'язування задач на дві дії, першою з яких с задача на знаходження суми двох доданків, а друга — на ділення на рівні частини.

2. Розв'язування задач на три дії, першою з яких є задача на знаходження суми двох доданків, друга — на ділення на рівні частини, а третя — на знаходження добутку як суми однакових доданків.

Поступово задачі на пропорційне ділення ускладнюються. Розглянемо пару аналогічних задач. Учні, розв’язавши першу задачу колективно, наступну задачу розв’язують за аналогією.

Розв'язування підготовчих задач активізує діяльність учнів при опрацюванні задач нового типу.

23.Розкрити методику вивчення рівнянь в поч.класах (етапи вивчення теми). Застосування алгоритмічний підхід до розв’язування рівнянь виду: (24–х):4=80 і 15:х+9=14

Поняття рівностей, нерівностей та рівнянь розкриваються у взаємозв’язку. Робота над ними ведеться з першого класу, органічно з’єднуючись з вивченням арифметичного матеріалу.

Одначе в процесі роботи над рівняннями, зі змінною учні, підставляючи різні значення змінної, накопичують спостереження та переконуються в тому, що рівності та нерівності бувають як правильні, так і неправильні. Такий підхід до розкриття понять дає змогу розкрити методику роботи над рівностями та нерівностями, рівняннями.

В співставленні з програмою в I – III класах роздивляємось рівняння першого ступеня з одним невідомим виду:

7 + х = 10, х – 3 = 10 + 5, х . (17 – 10) = 70,   х : 2 + 10 = 30.

Невідоме число спочатку знаходять підбором, а пізніше на основі знання зв’язку між результатами та компонентами арифметичних дій (т. є. знання способів знаходження невідомих компонентів). Ці вимоги програми визначають методику роботи над рівняннями.

На підготовчому етапі до введення перших рівнянь при вивченні складання та віднімання в межах 10 учні встановлюють зв’язок між сумою та добутком.

Крім того, к цьому часу діти оволодівають вмінням порівнювати вираз та число та отримують перші уявлення про числові рівності виду: 6 + 4 = 10, 8 = 5 + 3.Велике значення в плані підготовці к введенню рівнянь мають вправи на підбір пропущеного числа в рівностях виду: 4 + =6, 5 - =2, - 3 = 7. В процесі виконання таких вправ діти звикають до думки, що невідомим може бути не тільки сума або різниця, але і одне з доданків (зменшуване чи від’ємник).

Знайомство з рівняннями проходить при вирішенні задач з числами, наприклад: „К невідомому числу додали 3 та отримали 8. Знайти невідоме число ”. По даній задачі складається приклад с невідомим числом, який може бути записан так:

+ 3 = 8. Потім вчитель записує. Що в математиці прийнято позначати невідоме число латинськими літерами. Дається запис та читання однієї з літер – х (ікс). Пропонується означити невідоме число буквою та прочитати приклад. Ставиться мета навчитися вирішувати такі приклади.

Ці рівняння діти вирішують підбором: замість невідомого підставляють (наприклад, за допомогою розрізних цифр) одне за одним числа з множин чисел, даних вчителем, поки не знайдуть такого, яке „підходить” (при якому отримується правильний запис).

Вчитель на дошці, а діти в зошитах записують вирішення так:

х + 3=7      х – 3 =7     7 – х =5

х = 4          х =10         х =2

Вчитель пояснює, що такі приклади називають рівняннями, що знайти невідоме число – значить вирішити рівняння. Визначення рівняння та кореня рівняння не дається в початкових класах. Учні тренуються в читанні, записі та вирішенні рівнянь. Показують різні форми читання: „К якому числу треба додати 2, щоб отримати 9”, „Перший доданок 4, другий невідомо, сума дорівнює 7; чому дорівнює другий доданок? ” При вирішенні перших рівнянь діти опираються на операції над множинами, на знання складу числа, на встановлення відношень між результатами та компонентами дій (при складанні найбільше число – сума, вона складається з доданків; при відніманні найбільше число – зменшуване, воно складається з від’ємника та різниці).

Приблизно в такому ж плані в II класі вводять рівняння виду: х . 3 =12, 5 . х = 10,

х : 2 = 4, 6 : х = 6, які також спочатку вирішуються підбором. Поданий спосіб вирішення використовують к рівнянням, де обчислення здійснюються над табличними випадками дій, таким чином, вирішення рівнянь забезпечує засвоєння таблиць та складу числа (з доданків та множників).

Пізніше, коли учні засвоять знання зв’язків між результатами та компонентами арифметичних дій, рівняння починають вирішувати на основі знань правил знаходження невідомого компоненту. Учні пояснюють вирішення рівнянь (наприклад, х + 28 = 40) так: читаю рівняння (перший доданок невідомий, другий 28, сума 40); згадую правило, як знайти невідоме число (невідомий доданок отримаємо, якщо з суми 40 віднімемо другий доданок 28); обчислюю (40 – 28 =12, х =12); перевіряю (підставляю число 12 в ліву частину рівняння; обчислюю 12 + 28 =40, порівнюю 40=40, значить, рівняння вирішено правильно).

Зараз вирішення рівнянь формується наступним чином:

х + 5 = 25  х – 8 = 20

х = 25 – 5  х = 20 + 8

х = 20        х = 8

З метою формування вмінь вирішувати рівняння пропонують різні рівняння:

1) Вирішіть рівняння та виконайте перевірку.

2) Виконайте перевірку вирішених рівнянь, поясніть помилки в невірно вирішених рівняннях:

3) Складіть рівняння з числами х, 7, 10, вирішіть та перевірте вирішення.

4) З заданих рівнянь виберіть та вирішіть ті, в яких невідоме число знаходять відніманням (діленням).

5) З заданих рівнянь випишіть ті, в яких невідоме число дорівнює 8.

6) Розгляньте вирішення рівнянь, визначте, чим являється невідоме в рівнянні та вставте пропущений знак дії:

х * 2 = 12     х * 2 = 12

х = 12 : 2       х = 12 . 2

7) Вирішіть рівняння; порівняйте рівняння та їх вирішення:

х + 8 = 40   х . 3 = 24

х – 8 = 40   х : 3 = 24

Після того як учні навчаться вирішувати найпростіші рівняння, в II класі включаються рівняння виду: х + 10 = 30 – 7, х + (45 – 17) = 40 та т. п. Для вирішення таких рівнянь необхідні знання дій в виразах, а також вміння виконувати найпростіші перетворення виразів.

Першими роздивляються рівняння, в яких права частина задається не числом, а числовим виразом, наприклад: х + 25 = 50 – 14 або х + 25 = 12 . 3 та т.п. При вирішенні подібних рівнянь учні обчислюють значення виразів в правій частині, після чого рівняння зводяться до найпростішого.

Далі включаються рівняння, в яких у вигляді числового виразу задано один з компонентів, наприклад: х + (60 – 48) =20, (36 + 8) – х = 30. Корисно вчити ці рівняння з назвами компонентів (наприклад: „Перший добуток невідомо, другий представлено різницею чисел 60 та 8, сума дорівнює 20”). Щоб прочитати рівняння, треба у виразі встановити порядок дій, виділити останню дію, згадати, як називаються числа при виконанні цієї дії, та прочитати з назвою компонентів та результату.

На закріпленні вмінь вирішувати рівняння роздивляємось певні структури, вводимо у другому класі рівняння, вирішення яких опирається на знання зв’язку між результатами і компонентами тільки дій додавання та віднімання; в третьому класі – всіх чотирьох дій.

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА, СТОСОВНО (24–х):4=80і 15:х+9=14

Найбільш складним виявляються рівняння, в яких один з компонентів – вираз, в якому є невідоме число, наприклад: (х + 8) – 13 =15, 70 + (40 – х)= 96 та т.п., так як при вирішенні рівнянь даної структури треба два жди використовувати правила знаходження невідомих компонентів. Наприклад, роздивляються на уроці рівняння (12 – х) + 10 = 18.

Вчитель. Навчимося вирішувати такі рівняння. Дуже важливо правильно прочитати його. Яка дія виконується останнею в виразі зліва?

Учень. Остання дія – складання.

Вчитель. Згадайте, як називаються числа при додаванні, та прочитайте це рівняння.

Учень. Перший доданок відображено різницею 12 та х, другий доданок 10, сума 18.

Вчитель (прикріплюються таблички з термінами „доданок”, „сума” ). Куди входить невідоме число?

Учень. В перший доданок.

Вчитель. Як знайти перший доданок?

Учень. Щоб знайти перший доданок, треба з суми відняти другий доданок (записує на дошці: 12 – х = 18 – 10; всі учні пишуть в зошитах).

Вчитель. Такі рівняння ми вирішували. Що тепер треба зробити?

Учень. Обчисліть різницю чисел 18 та 10 (пише: 12 –х = 8).

Вчитель. Що тут невідомо і як знайти невідоме це число? Вирішуйте самостійно. Треба перевірити, правильно лі ви знайшли значення х. Що треба для цього зробити?

Учень. Треба поставити замість х його значення 4 (пише: (12 – 4) + 10), обчисліть з числом в правій частині (пише: 18 = 18).

Так само роздивляємось рівняння 36 – (20 + х) = 10.

Вивчення вирішення цього виду рівнянь потребує довгих вправ в аналізі виразів та гарного знання правил знаходження невідомих компонентів. На перших порах корисні вправи в поясненні вирішених рівнянь. Крім того, треба частіше вирішувати такі рівняння з первинним поясненням, що невідомо і які правила треба згадати, щоб вирішити дане рівняння. Така робота попереджує помилки та дає змогу оволодіти навичками вирішувати такі рівняння.

                                                          Білет №24