Позатабличне множення чисел.

Методика вивчення позатабличного ділення чисел. Розкрити сутність властивості ділен суми на число та можливість використання проблемного викладу знань при вивч прийому виду 42:3

 Позатабличні випадки множення та ділення в межах 100 вивчаються в 3 класі чотирирічної початкової школи (тема «Тисяча»). До них належать:

 1. множення і ділення, пов’язані з числами 0, 1, 10;

 2. множення і ділення круглих чисел на одноцифрове число;

 3. множення двоцифрового числа на одноцифрове;

 4. ділення двоцифрового на одно- та двоцифрове число.

 Розглянемо кожен із випадків множення.

 1. Теоретичною основою для випадків 1 * а = а, 0 * а = 0 є означення дії множення, що розуміється як сума однакових доданків. Тому на підготовчому етапі актуалізуються знання учнів щодо змісту дії множення, а потім ставиться проблемне запитання: "Як записати приклад на множення, коли доданком є число 1?

Як записати приклад на додавання, якщо перший множник число 1?”. Наприклад,

1 + 1 + 1 + 1 =

1 * 3 =

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 * 6 =

Висновок: 1 * а = а

Після відповідних обчислень учні під керівництвом вчителя роблять висновок: при множенні одиниці на будь-яке число будемо мати у добутку те саме число.

Вводиться буквенне позначення і записується у зошити узагальнена формула: 1 * а = а

Аналогічно проводиться робота для випадку

Множення на 0,1 подається без обгрунтування, а як певне твердження, яке потрібно запам’ятати. Вчитель формулює правило, робить запис та говорить, що правило потрібно знати напам’ять. а * 1 = а а * 0 = 0

Правило ділення будь-якого числа на 1, самого на себе та ділення нуля вчитель подає на основі зв’язку дій множення і ділення, а саме – на основі складання прикладів на ділення з прикладу на множення.

а : 1 = а

а : а = 1

0 : а = 0

Для випадку ділення на нуль пояснення неможливості виконання дії спирається на дію множення: на нуль ділити на можна, бо не існує такого числа, яке б при множенні на нуль дає число, відмінне від нуля.

При вивченні випадку множення десяти застосовується прийом зведення до десятків;

в основі множення числа на 10 лежить переставна властивість множення, а висновок із цих двох випадків формулюється так: щоб помножити число на 10, треба справа в числі приписати один нуль. Ділення типу 80:8, 60:3 учні опановують за допомогою прийому зведення до десятків. Структурний запис: 80 : 8 = 8 дес. : 8 = 1 дес.

60 : 3 = 6 дес. : 3 = 2 дес.

У випадку 30 * 2, який вивчається на основі п рийому зведення до одиниць нижчого розряду, грунтується розгляд:

2 * 30 = 30 * 2 = … прийом переставляння доданків

 2 * 30 = 2 * (3 * 10) = (2 * 3 ) * 10 = … прийом послідовного множення

Для випадку ділення типу 80 : 20 передбачається вивчення двох прийомів: •

послідовного ділення: 90 : 30 = 90 : (10*3)= … •

 випробовування: 90 : 30 = 30 * 2 = 60 - не підходить 30 * 3 = 90 - підходить

При множенні двоцифрового на одноцифрове розглядаються такі випадки:

 23 * 2 = 2 * 23 =

 Теоретична основа –правий Теоретична основа – переставна дистрибутивний закон множення властивість множення відносно додавання 23 * 2 = (20 + 3) * 2 = … 2 * 23 = 23 * 2 = … Теоретична основа – лівий дистрибутивний закон

множення відносно додавання

Ділення двоцифрового числа на одноцифрове включає випадки: 39 : 3 =

Він характеризується тим, що кожен із розрядних доданків діленого ділиться націло на дільник.

Теоретична основа – правило ділення суми на число.

Обчислювальний прийом – розкладання діленого на зручні доданки.

56 : 4 = (40 + 16) : 4 = 40 : 4 + 16 : 4 = …

70 : 2 = Випадок ділення будь-якого круглого числа на одноцифрове число.

Теоретична основа – правило ділення суми на число.

Обчислювальний прийом – розкладання діленого на доданки, один із яких є число 10.

70 : 2 = (60 + 10) : 2 = 60 : 2 + 10 : 2 = …

Ділення двоцифрового числа на двоцифрове базується на прийомі випробовування:

57 : 19 =

19 * 2 = 38 - не підходить

19 * 3 = 57 - підходить

Отже, 57 : 19 = 3

Ділення з остачею.

На цю тему за планом відводиться три години, на яких вчитель має розв’язати такі педагогічні завдання:

• ознайомити учнів з діленням з остачею;

• засвоїти термінологію (ділене, дільник, частка, остача);

• добиватися розуміння учнями того факту, що остача має бути завжди меншою за дільник;

• навчити учнів правильно записувати у випадку ділення з остачею та читати запис;

• навчити школярів перевіряти правильність виконання прикладу на ділення з остачею;

• закріпити вміння учнів виконувати ділення з остачею в нових навчальних ситуаціях (при розв’язуванні задач, порівнянні виразів тощо).

"Позатабличне ділення виду 42 : З".

Щоб поділити число 42 на 3, треба замінити число 42 сумою таких шюх доданків, кожний з яких можна поділити на 3, а потім застосувати відоме правило ділення суми на число. У даному разі зручно записати число 42 у вигляді пуми (30 + 12). 30 поділимо на 3, отримаємо 10; 12 поділити на 3, буде 4. Разом 14. Хід міркування можна записати так:

42 : 3 = (ЗО + 12) : 3 = 30 : 3 + 12 : 3 = 10 + 4 = 14.

Пояснення. Ми навчилися ділити двоцифрові числа на одноцифрові для випадків, коли кожний розряд діленого ділиться на дільник. Наприклад:

46 : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : 2 + + 6 : 2 = 20 + 3 = 23.

Розглянемо складніший випадок. Треба поділити 42 на 3. Спробуємо застосувати нідомий прийом: замінимо 42 сумою його розрядних доданків (40 + 2). Однак ні 40, іі 2 не ділиться на 3. Отже, прийом розкладання на розрядні доданки не підходить. Спробуємо знайти інший підхід до розв'язування. Утворимо число 42 з пучків-іесятків і з окремих паличок. 4 десятки на 3 не діляться, але на 3 рівні частини иожна поділити 3 десятки. Розкладемо 42 на доданки 30 і 12. 30 поділити на 3, буде 10; 12 поділити на 3, буде 4. Разом 14.

Як же можна поділити 42 на 3? Спочатку беремо з цього числа стільки десятків, цоб їх число ділилося на 3, а потім ділимо решту одиниць. У такому разі число юзкладається не на розрядні доданки, а на зручні. Хід міркування можна записати пік:

42 : 3 = (ЗО + 12) : 3 =30 : 3 + 12 : 3 = 10 + 4 = 14.

Проблемний виклад. Нам треба поділити 42 на 3. Спробуємо замінити число 42 сумою його розрядних доданків (40 + 2). Однак ні 40, ні 2 не ділиться на 3.

Чи не можна подати число 42 у вигляді суми будь-яких інших доданків, але таких, щоб кожний з них ділився на 3? Спробуємо це зробити. Числа братимемо з таблиці множення числа 3. (Учні випробовують числа 15 і 27, 18 і 24, 21 і 21, 30 і 12). Найзручніший варіант — розкладання числа на 30 і 12.

З трьох варіантів викладу одного й того самого навчального матеріалу видно, як змінюється пізнавальна активність дітей. У першому варіанті їм потрібно зрозуміти та запам'ятати подане пояснення, у другому — шукати новий прийом, а в третьому — ознайомитися не тільки з новим прийомом обчислення, а й з тими запитаннями, які виникають під час розв'язування нової задачі.

Методика вивчення письмового множення багатоцифрових чисел. Розкрити сутність типових помилок, що можуть допустити учні при множенні багатоцифрових чисел та показати шляхи їх попередження та усунення.

Множ і ділення багатоцифр чисел вивч в такій послі­довності: множ на одноцифр число; ділення на одноцифр число; множ чисел, що закінчуються нулями; ділення на числа, що закінчуються нулями; множ на двоцифр і трицифр числа; ділення на двоцифр число. Пояснення письмового алгоритму дій другого сту­пеня займає чимало часу. Щоб дітям не доводилося тривалий час бути тільки спостерігачами та слухачами, варто варіювати методи пояснення нового матеріалу, зокрема застосовувати самостійне ознайомлення зі знаходженням значення виразу за поясненнями, поданими в підручнику.

Множення на одноцифрове число.Питання за програмою: поняття дії множен, переставний і сполучний закони дії множ, розподільний закон множ відносно додавання, загальний випадок множ і особливі випадки множ, множодноцифр числа на багатоцифр, множ іменованих чисел.

Множення — особливий вид додавання: додавання однакових доданків. Помножити натуральне число 3 на натуральне число 5 означає знайти суму п'яти доданків, кожний з яких дорівнює 3 (3-5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3). Числа 3 і 5 називмножниками, а вираз 3 • 5 — їх добутком.

Закони множ: 1.Переставний закон. Для будь-яких натуральних чисел а і Ь виконується рівність: а • Ь = Ь • а, що виражає переставний закон множення: від переставляння множників добуток не змінюється; 2.Сполучний закон. Для будь-яких натуральних чисел а, Ь і с виконується рівність: (а•Ь)•с=а•(Ь•с), що виражає сполучний закон множення: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього чисел; З переставного та сполучного законів дії множення отримуємо: у добутку кількох множників можна переставляти множники і брати їх у дужки будь-яким чином; 3.Розподільний закон. Для будь-яких натуральних чисел а, Ь і с виконується рівність: (а+Ь)•с=а•с+Ь•с, що виражає розподільний закон: добуток суми двох чисел на будь-яке число дорівнює сумі добутків кожного доданка на це число. Розподільний закон виконується для будь-якого числа доданків.

За допомогою дії множення розв'язують задачі: на розкриття змісту дії множення; на збільшення числа в кілька разів; на кратне порівняння чисел; на знаходження невідомого діленого.

У процесі підготовки до засвоєння письмового алгоритму множення повторюють табличні випадки множення, множення чисел 0 і 1, множення суми на число.

Розглядаючи множення багатоцифрового числа, що закінчується одним або кількома нулями, вчитель звертає увагу учнів на те, що другий множник можна записати так, щоб нулі залишились праворуч.Це можна пояснити так: множимо спочатку сотні, а потім сотні записуємо в одиницях (дописати 2 нулі).

У випадку множення одноцифрового числа на багатоциф­рове застосовуємо переставну властивість дії множення.

Множення складених іменованих чисел на одноцифрове число виконують двома способами: одразу множать або спочатку замінюють складене іменоване число простим, виконують дію над абстрактними числами і потім просте іменоване число замінюють складеним.

Множення на розрядні числа.У методичній літературі часто не звертається увага на відмінність понять "круглі числа" і "розрядні числа". Відповідно нечітко розрізняють і такі твердження, як "множення на круглі числа" і "множення на розрядні числа". Круглі числа — це будь-які числа, що закінчуються нулями (4 700, 800, 120, 80, 5 000). Розрядні числа — це числа, що містять лише одну значущу цифру (6, 40, 800, 3 000).

Перші уроки використовують для повторення переставної і сполучної властивостей дії множення, розглядають множення числа на добуток та множення на 10, 100 і 1 000. Виконують також вправи на подання розрядних чисел у вигляді добутків, де один з множників буде число виду 10, 100, 1 000 і т. д. (600 = 6 • 100; 8 000 = 8 • 1 000).

Якщо множники закінчуються нулями, то множать, не звертаючи уваги на ці нулі, а потім до добутку дописують стільки нулів, скільки їх в кінці обох множників разом.

Множення на дво- і трицифрові числа.Передумова-вміння учнів виконувати письмове множ на одноцифр число та розрядні числа. Теорет основа множення на двоцифр нерозрядне число — властивість множення числа на суму.

Опрацювання матеріалу розпочин з множ двоцифр числа на двоцифр.(На початку навчального року учні 4 класу вже розглядали цей випадок у межах 1 000).

Для знах результату множ на двоцифр число треба перший множник окремо помножити на десятки й одиниці і результати додати.

На основі переставної властивості дії додавання можна спочатку помножити число на одиниці, а потім на десятки. Так роблять при письмовому множенні.

При письмовому множенні множники розміщують так, щоб одиниці були записані під одиницями. Множення розпочинають з одиниць. При множенні на десятки цифри другого неповного добутку починають записувати під десятками. Останньою дією знаходять суму неповних добутків. Учитель пропонує учням прочитати спочатку перший неповний добуток, а тоді другий неповний добуток.

Множення на трицифрове число з усіма розрядами не викликає труднощів. Для введення нового виду множення доцільно розглянути два схожих добутки, наприклад: 373 • 47 і 373 • 247.

Труднощі:

У процесі коментованого обчислення виразів учні користуються коротким поясненням, але в разі ускладнення або допущення помилки вчитель пропонує дати докладне пояснення. Зокрема, це стосується випадку множення, коли багатоцифрове число містить всередині кілька нулів (наприклад, 23 007 • 5).

Розглядаючи множення багатоцифрового числа, що закінчується одним або кількома нулями, вчитель звертає увагу учнів на те, що другий множник можна записати так, щоб нулі залишились праворуч.

Це можна пояснити так: множимо спочатку сотні, а    _Х36 900 потім сотні записуємо в одиницях (дописати 2 нулі).

Множення на трицифрове число з усіма розрядами не викликає труднощів. Для введення нового виду множення доцільно розглянути два схожих добутки, наприклад: 373 • 47 і 373 • 247.

Спостереження показують, що в окремих учнів виникають труднощі при множенні чисел, які містять нулі.

Для запобігання помилкам застосовують коментоване розв'язування. Подамо зразок коментування.

Спочатку 3 054 множимо на 4 одиниці і в результаті отримуємо одиниці. Результат цього множення починаємо записувати під одиницями: 4 на 4, буде 16, пишемо 6, 1 запам'ятовуємо; 5 на 4, буде 20 і ще 1, буде 21, пишемо 1, а 2 запам'ятовуємо; 0 на 4, буде 0 і ще 2, пишемо 2; 3 на 4, буде 12, записуємо 12.

У числі 204 — 0 десятків. Тому 3 054 будемо відразу множити на 2 сот. І в результаті отримаємо сотні. Результат цього множення починаємо * записувати під сотнями: 4 на 2, буде 8, цифру 8 записуємо на місці сотень; 5 на 2, буде 10, 0 пишемо, 1 запам'ятовуємо і т. д. Маємо два неповних добутки: перший неповний добуток — 12 216, другий неповний добуток — 6 108 сот. Добуток — 623 016.

Методика вивчення письмового ділення багатоцифрових чисел. Розглянути сутність типових помилок, що можуть допустити учні при діленні багатоцифрових чисел на одноцифрове число. Розкрити методичні прийоми їх попередження та усунення.

Початок див 16 білет.

Ділення багатоцифрового числа на одноцифрове число.Перед вивченням ділення багатоцифр числа на одноцифр узагальнюють поняття про дію ділення та її властивості.

Діленням назив дія, за допомогою якої за добутком двох множників і одним із цих множників знаходять інший множник. 80•3=240, 240:3=80

Число 240 називається діленим, 3 — дільником, 80 — часткою. У множині натуральних чисел дія ділення не завжди виконується. Наприклад, щоб поділити 50 на 6, треба знайти таке число х, для якого: 6•х — 50. Такого натурального числа не існує, бо6•8=48, а 6•9=54.

У множині натуральних чисел завжди можливе ділення з остачею:50:6=8(ост.2).

Властивості, характерні для частки:1.Щоб поділити число на добуток двох чисел, достатньо поділити це число на один з множників, а потім результат поділити на інший множник, 120:(2-3)=120:2:3=60:=20; 2.Щоб поділити суму чисел на дане число, достатньо поділити кожний доданок на це число і додати здобуті частки.(48+36):6=48:6+36:6=8+6=14; 3.Щоб поділити різницю чисел на дане число, достатньо поділити на це число зменшуване і від'ємник, а потім від першої частки відняти другу.(90-21):3=90:3-21:3=30-7=23.

За допомогою дії ділення розв'язують задачі: на розкриття змісту дії ділення; на зменшення числа у кілька разів; на кратне порівняння чисел; на знаходження невідомого множника та дільника.

При підготовці до вивчення ділення багатоцифрового числа на одноцифрове необхідно виконати низку вправ, пов'язаних з безпосереднім визначенням при діленні кількості цифр у частці: 1.Який найвищий розряд у даному числі? 2.Ск цифр буде в запису числа, якщо найвищий його розряд, наприклад, десятки тисяч? 3.Ск всього десятків (сотень і т. д.) в даному числі? 4.Яке число визначає цифра, записана у вищому розряді даного числа (наприклад, 527)? 5.Яке число визначають дві перші цифри вищих розрядів даного числа?

Потрібно також нагадати учням зв'язок дії ділення з дією множення, повторити властивість ділення суми на число, випадки ділення з остачею.

Відповідно до цього будується загальна пам'ятка. На одному з уроків варто порівняти неповні ділені з відповідними зручними доданками.

Якщо знайдемо зручні доданки, то можна виконати ділення усно. 741:3=(600+120+21):3=200+40+7=247.(Зручними доданками є такі числа, від ділення яких на дільник отримуємо розрядні доданки частки).

Складене іменоване число при діленні на одно- або двоцифрове число замінюють на просте. Якщо ділене і дільник — іменовані числа, то їх треба подати простими іменованими числами в однакових одиницях.(56 грн. 22 коп. : 6 = 9 грн. 37 коп.)

Окремо потрібно розглянути випадок ділення, коли при діленні залишається остача і в кінці частки треба дописати нуль. Такі вирази учні обчислюють під керів­ництвом вчителя.

Ділення на розрядні числа.Вивчен ділення на розрядні числа базується на властивості ділення числа на добуток. На основі цієї властивості розкривають спосіб послідовного ділення. Треба також повторити ділення на 10, 100 і 1000 без остачі та розглянути ділення на ці числа з остачею.Повторюють властивість ділення числа на добуток.

При вивченні ділення на розрядні числа особливо грунтовно треба опрацювати ділення трицифрового числа на круглі десятки (без остачі і з остачею). Ця операція є основною складовою алгоритму ділення багатоцифрового числа на двоцифрове.

Письмове ділення трицифрового числа на круглі десятки (з остачею) опрацьовують на основі коментованого розв'язування прикладів самим вчителем.

Аналогічно пояснюють ділення багатоцифрового числа на круглі десятки, коли в частці з'являються нулі, та ділення на трицифрове розрядне число.

Ділення багатоцифрового числа на двоцифрове.Спочатку розглядають ділення трицифрового числа (без остачі і з остачею) на двоцифрове з одноцифровою часткою, звернувши увагу на спосіб знаходження цифри частки.

Труднощі:

Слід звернути особливу увагу на випадки ділення, коли в результаті отримуємо нулі в кінці або всередині частки. Щоб учні не пропускали нулі в частці, треба привчити їх ще до виконання ділення за назвою першого неповного діленого визначати кількість цифр у частці.

Треба домогтися усвідомлення ними, що процес знаходження кожної з цифр частки складається з таких операцій: а) утворення неповного діленого; б) знаходження відповідної цифри частки; в) знаходження числа одиниць відповідного розряду, які поділили; г) знаходження числа одиниць цього розряду, що залишилися неподіленими, і визначення за остачею правильності дібраної цифри частки.

Методика навчання учнів початкових класів розв’язуванню текстових задач. Охарактеризувати і обґрунтувати різні види короткого запису та запису розв’язання задачі; навести конкретні приклади.

Методика навчання учнів початкових класів розв’язуванню текстових задач. Обґрунтувати використання різних способів встановлення залежності між даними і шуканими задачі «Купили 40 кг помідорів. Восьму частину маси всіх помідорів залишили для їжі, а решту засолили порівну в 7 банках. Скільки кілограмів помідорів поклали в кожну банку?».

Для їжі – 8 частина