Решение игр в смешанных стратегиях

Если игра не имеет седловой точки, то игрок A гарантирует себе выигрыш, равный нижней цене игры, которая  меньше верхней цены игры.Конечно, игрок А хочет увеличить выигрыш, а В – уменьшить проигрыш. Если игроки будет чередовать свои стратегии случайным образом, то в некоторых случаях А получит бόльший выигрыш, чем нижняя цена игры.

Смешанной стратегией игрока A называется набор вероятностей
, где p₁ + p₂ +… + p_m = 1, с которыми он чередует свои стратегииA₁, A₁,…, A_m. Аналогично определяется смешанная стратегия игрока B как набор где q₁ + q₂ +… + q_n = 1. В этом случае выигрыш А определяется как
(математическое ожидание).

Теорема 2(Фон-Неймана)

Для любойконечная игра m´nдвух лиц существуют смешанные стратегии игрока А и и игрока В, что для любых других стратегий и  выполняется неравенство:

Экономический смысл теоремы: Если игрок А отступает от стратегии , то его выигрыш уменьшается. Если игрок В отступает от стратегии , то его проигрыш увеличивается. Таким образом, смешанные стратегии образуют седловую точку во множестве смешанных стратегий, игрокам не выгодно отступать от стратегий, соответствующих этой точке. Если - пара смешанных стратегий, образующих седловую точку, то величина
 называется ценой игры.

Теорема 3 (о цене игры)

Цена игры удовлетворяет неравенству .