Удар пластини об границю рідини, що заповнює шар скінченної глибини

Розглядається задача, коли на вільній поверхні рідини, яка обмежена плоским дном та безмежна вбоки, лежить пластина. У деяку мить часу на неї діє імпульсна сила, в результаті якої пластина отримує вертикальну поступальну та обертову швидкість. На вільній поверхні рідини горизонтальна складова швидкості буде нульовою. Систему координат виберемо так, щоб вісь хбула спрямована вздовж вільної поверхні рідини, а вісь успрямована вертикально вглиб.Рідину вважаємо ідеальною та нестисливою. Товщину шару позначимо через h.

У такій постановці будемо мати наступні граничні умови:

Рішення задачі шукаємо у вигляді функції

Рис. 6. Схема до постановки задачі.

Щоб звести задачу до задачі Келдиша-Сєдова, потрібно зробити конформне відображення. Для цього скористаємось інтегралломШварца-Крістоффеля.

Віберемо відображення так, щоб точка  перейшла в точку , точка  в точку , а точка  перейшла в

Це відображення буде мати вигляд:

азворотнє відображення буде таким

Розглянемо це відображення на ділянці .Відокремивши в zдійсну та уявну частину, отримаємо

тобто, точки x і  перейдуть в точки

Граничні умови у новій площині приймуть вигляд

Рис. 7. Схема до постановки задачі у площиніt.

Тепер можемо сформулювати задачу Келдиша-Сєдова для напівплощини .На цей раз функцію R(t) виберемо наступним чином:

Розглянемо на кожній ділянці.

1)

2)

3)

4)

5)

Запишемо формулу Келдиша-Сєдова; вона матиме вигляд:

Перевіримо, чи задовольняється гранична умова на пластинці, тобто на ділянці  у площині t.При переході точки з t з півплощини на границю  зверху за формулою маємо:

Підставивши останній вираз до формулиКелдиша-Сєдова, бачимо, що граничні умови задовольняються, а горизонтальна компонента швидкості на пластинці, як функція змінної :

при цьому зв'язок фізичної координати  з допоміжною координатою задаєтьсяспіввідношенням:

Імпульсивний тиск  тому для обчислення імпульсів на пластині потрібно визначити потенціал  шляхом інтегрування виразу(65).