Комплексна швидкість та комплексний потенціал

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

Механіко-математичний факультет

Кафедра аерогідромеханіки та енергомасопереносу

ДИПЛОМНА РОБОТА

МАГIСТРА

УДАРНА ВЗАЄМОДІЯ ТІЛА І ШАРУ РІДИНИ З ВІДРИВОМ ПОТОКУ

Виконала:магістр групи МГ-14м-1

напряму підготовки

8.04020202 – Механікасуцiльнихсередовищ

             Нікуліна Т. М.

Науковий керівник

проф., д.ф.-м.н.    Гоман О.Г.

Рецензент

доц., к.ф.-м.н.Меньшиков Ю.Л.

м. Дніпропетровськ – 2016 рік
Реферат

Виконавець:магістр групи МГ-14м-1 Нікуліна Т. М.

Керівник: проф., д.ф.-м.н. Гоман О. Г.

Дипломна робота:«Ударна взаємодія тіла і шару рідини з відривом потоку».

Об’єкт дослідження:взаємодіяпластинитавільної поверхніідеальної нестисливої рідини при ударі.

Мета роботи:дослідити поведінку вільної поверхні рідини, під впливом дії ударної сили та ударного моменту пластини або тіла з плоским дном відомого розміру. Знайти поле швидкостей та інші гідродинамічні параметри.

Одержані результати:була сформульована і розв’язана гідродинамічна крайова задача з неоднорідними граничними умовами, отримано профілі швидкостідля випадку відомих початкових  вертикальної поступальної та кутової швидкості, досліджені випадки безвідривного та відривного обтікання рідини, знайдені гідродинамічні параметри та їх залежності від точки відриву рідини від тіла. Отриманий розв’язок було перевірено на задовільнення граничним умовам, побудовано графіки, що ілюструють розв’язок задачі.

Summary

In this diploma the problem of a body shock to the free surface of an incompressible liquid is considered.The liquid stored in some form of reservoir. The solid plate floats on the surface of the liquid. At some point in time pulse power and torque acting on the plate.These power factors give rise to instantaneous translational velocity and angular velocity of the body and instantly arises the liquid velocity field.

If the shape of the body surface and the instantaneous velocity of the body and the angular velocity after impulse (shock) actions are known, the hydrodynamic problem is to determine the liquid velocity field and other hydrodynamic parameters.

In this diploma the planar statement of the problem is considered. Plate floats on the liquid surface, whichgets vertical velocity and angular velocity around the axis lying in the plane of the free liquid surface as a result of pulse power.

In this paper the solution for the case of continuous flow and liquid flow tear-off was obtained. The resulting solution was checked to satisfy the initial conditions.

Змiст

Вступ. 4

І. Теоретичні відомості 5

ІІ. Постановка задачi 14

ІII. Розв'язання. 16

IV. Результати. 44

V. Висновки. 52

Список літератури. 53

Вступ

Теоріягідродинамічного удару належить до класичнихзадачмеханікирідини. Задачі удару тіла об рідинучасто зустрічаються на практиці: саме до такого типу зводятьсяпроблемивизначеннясиловоївзаємодії води з поверхнямигідролітаків, космічнихлітальнихапаратів при їхпосадці на воду,взаємодії води з днищами суден. Такожударнізадачівзаємодіїрідини і швидкісногопроникаючоготілавиникають в різнихтехнологіях при термічнійобробці, охолодженнітощо.

Однак, до теперішнього часу, теоретичніметодирозв'язання задач зазначеного типу продовжуютьудосконалюватися з причини того, що удар можевідбуватися з відривомрідинивідповерхнітіла в однійабодекількох зонах, або без відриву. Звиникненнямзазначених зон, положенняякихзаздалегідьневідомо, задачастаєнелінійною і суттєвоускладнюється - саме з подоланнямцихтруднощівпов'язанийрозвитоксучасниханалітичних і чисельнихметодів. Визначеннямісцеположеннязониабо зон відривупринципововажливо для коректноговизначенняприєднанихмасрідини до тіла при ударі.

Об'єктомдослідження в данійроботі є взаємодіярідини і тіла у виглядіплоскоїпластини, яка спочаткуплаває на поверхнірідини, і в момент нецентрального удару отримуєвертикальнупоступальнушвидкість і кутовушвидкістьобертання.

Рішеннябулознайдено за допомогоюзведеннязадачі до типовоїзадачіКелдиша-Сєдова. Отриманоаналітичнівирази у випадкахбезвідривного і відривногообтікання для визначеннязначеньсили і моменту, щодіють на тіло, вирази для визначенняприєднанихмасрідини до тіла. Такожбулазнайдена зона відривурідинивідповерхніпластини і умовавиникненнявідриву.

Дослідження показали, що у разівідривногообтіканнясиловіфакторизалежатьвідприкладеної до тілапоступальноївертикальноїшвидкості і кутовоїшвидкостінелінійним чином. Цязалежністьістотноскладніше, ніж у випадкубезвідривногообтікання.

.

І. Теоретичні відомості

Дія миттєвих сил

Припустимо, що до рідини прикладаються миттєві масові та поверхневі сили, що діють дуже короткий проміжок часу τ, але досягають дуже великих значень. Щоб визначити дію таких сил на рух рідини, застосуємо основне ріняння руху, в правій частині якого окремо виділимо миттєві масову силу та тиск :

Приймемо за початкову мить початок дії миттєвих сил. Інтегруючи рівняння руху в межах від t=0 до t=τ та взявши до уваги, що імпульсами звичайних сил можна знехтувати через їх мализну, будемо мати:

де  та  – швидкості однієї частинки до початку й по закінченні дії миттєвих сил, а Jє імпульсом миттєвих масових сил:

Внаслідок мализни τ можна знехтувати переміщенням частинки за цей час, тому швидкості  та  можна віднести до однієї й тієї самої точки поля. Тоді імпульс миттєвих тисків

будемо мати:

                           (1)

Це співвідношення виражає, що дія миттєвих сил спричиняє раптову зміну швидкостей у кожній точці поля. За відсутністю миттєвих масових сил та при дії лише миттєвих тисків маємо:

                                    (2)

Тобто, якщо виникає раптова зміна поля швидкостей, то така зміна призведе до появи в кожній точці рідини миттєвих тисків, імпульс яких зв’язаний рівнянням (2) зі зміною швидкостей. Взявши операцію  від обох частин рівності (2) та беречи до уваги, що , внаслідок нестисненності рідини, та що розбіг від градієнту є оператор Лапласа, бачимо, що імпульс миттєвих тисківмає задовольняти рівнянню Лапласа:

Можна сказати, що якщо рух рідини до початку дії миттєвих тисків був безвихровим, то він залишиться таким і після їх дії.

Справді, якщо

то внаслідок (2):

                                      (3)

Назвемо потенціал швидкостей після дії миттєвих тисків через ;

внаслідок (3) маємо:

де С – довільна стала, однакова для усіх частинок рідини.

    Рівність (2) свідчить про те, що якщо до всіх частинок нестисливої рідини прикласти однаковий миттєвий тиск, то не буде ніякої зміни швидкостей, так як при =const, матимемо:

Рівність (3) дає змогу встановити нову точку зору на виникнення безвихрового руху. Якщо в (3) покласти φ=const, то

                                                ( )

тобто безвихровий рух, що описується потенціалом , може виникнути з стану спокою φ=const, після дії миттєвих тисків з імпульсом

Якщо в (3) покласти =const, то бачимо, що безвихровий рух, який має потенціал швидкості φ, може бути повністю в усій рідині зупинений після прикладення імпульсу тисків .

Разом з тим приходимо до висновку, що ніякими миттєвими тисками неможливо ані спричинити, ані знищити вихровий рух, бо інакше, узявши наприклад , за (2) мали б:

Комплексна швидкість та комплексний потенціал

Таким чином, якщо рух рідини виникає із стану спокою внаслідок ударної дії, то згідно з (4), цей рух буде потенційним, і його потенціал  буде задовольняти рівнянню Лапласа

У плоскому випадку можна ввести функцію струму , спряжену з функцією  умовами Коші-Рімана

                                         (5)

які виражають ту обставину, що комплексний вираз  є аналітичною функцією комплексного аргументу

                                                               (6)

тобто функція f(z) буде мати визначену похідну

                                  .                            (7)

Остання формула означає, що похідна  пов’язана зі швидкістю

                                                                                          (8)

Якщо розглядати дійсну одиницю +1 і уявну одиницю і як одиничні вектори (орти), відкладені по осях Ох і Оу, то комплексне число  може бути зображене вектором швидкості , відкладеним від початку координат.

Спряжене ж число  зобразиться вектором , який служить дзеркальним відображенням вектора швидкості по відношенню до дійсної осі Ох. Тому комплексне число  носить назву комплексної швидкості; модуль комплексної швидкості дає величину швидкості:

Функція  носить назву комплексного потенціалу.