Змішана задача длянапівплощини. Формули Келдиша-Сєдова

Нехай на дійсній осі Ох дана система роздільнихвідрізків  (мається на увазі, що ). Позначимо через сукупність цих відрізків, а через  – решту дійсної осі, так що  складається з cкінченних відрізків  з нескінченного «відрізка», що складається з двох напівпрямих .

Змішану задачу у нашому випадку формулюємо так: знайти функцію , голоморфну на верхній напівплощині  та обмежену у нескінченності, за граничними умовами:

                    (10)

Ми вважаємо, що поблизу (так ми позначаємо всю дійсну вісь), задані функції  задовольняють умовiГельдера (умові Н) відповідно на  i , включаючи нескінченно віддалену точку.

Розв’язок цієї задачі можна відразу отримати шляхом перетворення за допомогою дробово-лінійної підстановки .Ми, однак, отримаємо більш простий результат трохи іншим способом.

Однорідна задача спряження, відповідна нашій задачі має вигляд

   (11)

причому потрібно знайти рішення, що володіють властивістю , де  функція, спряжена з функцією .

Зарозв'язок цієї однорідної задачівізьмемо функцію

                                (12)

де

                                                  (13)

Під  мається на увазі гілка, голоморфна на розрізаної вздовж D’ площині і така, що поблизу

                                                              (14)

Це рівнозначно тому, що  приймає на осі Ох додатні значення при .

Легко побачити, що . Загальне рішення однорідної задачі, що виходитьз (10)  при f(t)=g(t)=0 дається формулою

,                                    (15)

де C₀,…C_p – довільно дійсні постійні. Знайдемо тепер канонічне рішення Z задачі (11). Таким рішенням буде з точністю до постійного множника

                                                                                   (16)

де

         (17)

А під  мається на увазі гілка,голоморфна на розрізаної вздовж осі D’ площині, приймаюча на нескінченності значення 1. І в цьому випадку

.

Один з частинних розв’язків  вихідної задачі дається формулою

                                                   (18)

де

                                                                             (19)

А під  розуміється значення, яке приймається  при z→t на верхній півплощині.

Загальне рішення вихідної задачі дається, таким чином, формулою

,                  (18)

де С – дійсна довільна постійна.

Отримані в цьому параграфі формули являють собою формули М.В. Келдиша і Л.І.Седова.

Інтеграл типу Коші

Вираз

де f(z) – aналітична функція на замкнутій області , що обмеженадодатньо орієнтованим контуром L, називається інтегралом Коші.

Якщо лежить всередині L, то інтеграл дорівнює , якщо ж лежить поза L, то функція аналітична і, отже, інтеграл Kоші дорівнює нулю.

Нехай тепер L – будь-яка кусково гладка орієнтована крива. Не обов'язково замкнута, і  – безперервна функція, визначена вздовж L. Тоді вираз

                                                              (21)

є інтегралом типу Коші. Формула (21) являє собою функцію , визначену поза L.

Справедлива така теорема.

Інтеграл типу Коші є аналітична функція для всіх . Похідна порядкуn від обчислюється за формулою

                                  .                           (22)

Доказ.Нехай σ є довільне коло, що не має спільних точок з кривою L.

Функція двох комплексних змінних z та z₀

неперервна на множині Lі має на ньому безперервну частинну похідну

(Треба врахувати, що так як круг не перетинається з L, то при будь-яких та  різниця ).

Це дає змогу бачити, що диференціювання  за параметром  законно призвести під законом інтеграла в (21).

При цьому похідна неперервна поза L. Але тоді  аналітична поза L.

Ми довели формулу (22) у разі n = 1. Для n>=2 міркування ведуться за індукцією.

Слідство:

Якщо функція аналітична в області D, тобто має безперервну першу похідну на, то вона має похідні всіх порядків.

Доказ:

Нехай будь-яка точка D, коло з центром в , цілком лежить в області D, окружність  – границя , спрямована проти годинникової стрілки. Тоді за формулою Коші

                                 ,                            (23)

тобто функція зображується інтегралом типу Коші при L= та . Отже, в силу теореми, нескінченно диференційовна та

ІІ. Постановка задачi

Розглядається задача про удар тіла по вільній поверхні нестисливої рідини, яка знаходиться у басейні . Припускається, що на поверхні рідини, яка знаходиться у стані спокою, плаває тверде тіло (або тіла), на яке у певний момент часу діє імпульсна сила та імпульсний момент. Ці силові фактори призводять до виникнення миттєвої поступальної швидкості та кутової швидкості тіла, завдяки чому миттєво виникає поле швидкості рідини.

Гідродинамічна задача полягає у визначенні поля швидкості рідини та інших гідродинамічних параметрів, якщо відома форма поверхні тіла та басейну, а також миттєва швидкість тіла і кутова швидкість після імпульсивної (ударної) дії.

В роботі розглядається задача у плоскій постановці, вважається, що на поверхні рідини плаває пластинка чи платинки (або до поверхні рідини впритул дотикається тіло своїм плоским торцем ), яка внаслідок дії імпульсу отримує вертикальну швидкість , перпендикулярну до площини вільної поверхні рідини, та кутову швидкість обертання ω навколо вісі, що лежить у площині вільної поверхні.

Виберемо систему координат Oxy, направивши вісь у вглиб рідини, перпендикулярно до площини вільної поверхні, вісь х направимо вздовж цієї поверхні (рис. 1).

Рис. 1. Схема до постановки задачі.

Таким чином, внаслідок удару елементи поверхні пластини миттєво отримують вертикальну складову швидкості

і задача полягає у визначенні поля швидкості рідини, яке визвано вказаним рухом поверхні пластинки.

Позначимо через D₁ частину осі Ох, що являє собою слід пластини на площині, через D₂ – частину осі, що займає вільна поверхня рідини, а через D₃ – границі басейну. Задача полягає узнаходженні поля швидкостей рідини у мить, що слідує безпосередньо за ударом, та інших гідродинамічних параметрів.

Потрібно знайти функцію ,голоморфнув області, що займає рідина, та обмежену на нескінченності, за такими граничними умовами:

                  (24)

Знайшовши поле швидкостей, обчислимо комплексний потенціал та знайдемо гідродинамічні параметри.

ІII. Розв'язання