Граничні задачі. Ударна задача

Задля вивчення плоского поля достатньо знати його комплексний потенціал. Прикладні задачи зазвичай приводяться до визначення комплексного потенціалу за заданими граничними умовами (вони виникають з самих фізичних умов даної задачі), або, іншими словами, до вирішення граничної задачі. При цьому, якщо задача фізично коректно поставлена, то задані умови повинні повністю визначати поле, тобто комплексний потенціал поля повинен визначатися або точно, або з точністю до постійного доданка. Однією з граничних задач є ударна задача.

    Хай в посудині (басейні)  знаходиться рідина, що перебуває у спокої або рухається, у якій плавають тверді тіла. У мить часу t=0 на тіла подіяли імпульсивні сили так, що одне з тіл отримало миттєвий приріст швидкості V (удар). Потрібно знайти поле імпульсивних швидкостей та розподіл імпульсивних тисків у рідині у мить, безпосередньо слідуючу за ударом.

Перейдемо до математичної постановки задачі та для спрощення візьмемо випадок, коли до удару рідина не рухається. За відсутністю масових імпульсивних сил рух після удару потенційний, при чому потенціал швидкостей φ(x,y) у мить, що слідує за ударом, задовільняє умові

                                                                                 (9)

де рідини та імпульсний тиск у ній. Нехай D – область, що зайнята рідиною, С – її межа, С_к – поверхня тіл  – вільна поверхня рідини. Для потенціалу швидкості φ (x,y) маємо граничні умови:

    вздовж стінки посудини виконується умова непротікання:

                                          ;                                                     

вздовж поверхонь тіл у рідині:    

де  нормаль до кожного к-го тіла.

    Імпульсивні швидкості тіла вважаються відомими.

    Вздовж вільної поверхні маємо умову:

(x,y)=0.

    Вирішивши вказану задачу для функції (x,y), знайдемо її в області D та

отримаємо розподіл швидкостей , а тиск знайдемо за формулою (9).

    Отримана гранична задача є частковим випадком змішаної граничної задачі теорії аналітичних функцій.