К вычислению площадей плоских фигур

Рассмотрим частные случаи вычисления площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

I. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная снизу отрезком  оси , сверху графиком непрерывной функции , принимающей неотрицательные значения на отрезке , а с боков – отрезками прямых ,  (см. рис. 5).

Рис. 5. Криволинейные трапеции

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле .

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями , , , . Графиком функции  является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх (см. рис. 6).

Рис. 6. Фигура, ограниченная линиями , , ,

(кв. ед.).

II. Отражённая криволинейная трапеция (см. рис. 7).

Рис. 7. Отражённые криволинейные трапеции

Площадь отражённой криволинейной трапеции вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции  и отрезком  оси  (см. рис. 8).

Рис. 8. Фигура, ограниченная графиком функции  и отрезком  оси

(кв. ед.).

III. Фигура, состоящая из двух криволинейных трапеций (см. рис. 9).

Рис. 9. Фигура, состоящая из двух криволинейных трапеций

Площадь фигуры, состоящей из двух криволинейных трапеций, вычисляется по формуле .

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,  (см. рис. 10).

Рис. 10. Фигура, ограниченная линиями , , ,

(кв. ед.).

IV. Фигура, заключённая между двумя криволинейными трапециями (см. рис. 11).

Рис. 11. Фигура, заключённая между двумя криволинейными трапециями

Площадь фигуры, заключённой между двумя криволинейными трапециями, вычисляется по формуле .

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями  и  (см. рис. 12).

Рис. 12. Фигура, ограниченная линиями  и

(кв. ед.).

V. Криволинейная трапеция, стоящая на оси , – фигура, ограниченная графиком функции , осью  и прямыми ,  (см. рис. 13).

Рис. 13. Криволинейная трапеция, стоящая на оси

Площадь криволинейной трапеции, стоящей на оси , вычисляется по формуле .