Правила вычисления пределов последовательностей и функций

I. Подставить бесконечность вместо  или предельное значение  вместо  в выражение, стоящее за знаком предела.

Например, ,.

Важно, что , где  – любое число;

Если в результате подстановки получилось число или , то это ответ. Очень часто после подстановки получаются неопределенности вида , , , , .

II. Если получилась неопределённость вида , то можно:

1) разделить числитель и знаменатель дроби на старший член (на наивысшую степень или на наибольшее число в степени).

Примеры:а)

.

Вывод:Если под знаком предела стоит дробь, в числителе и знаменателе которой многочлены одинаковых степеней, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

б)

;

в) ;

г)

;

д);

е)

.

2) воспользоваться правилом Лопиталя: .

Пример: .

III. Если получилась неопределённость вида , то можно:

1) сократить на выражение , которое стремится к нулю.

Примеры:а);

б).

2) бесконечно малый множитель заменить на эквивалентный: при , , , , , , , , , где .

Пример: .

3) воспользоваться правилом Лопиталя: .

Пример: .

4) домножить и разделить на сопряжённое, если выражение, стоящее за знаком предела, имеет корни.

Пример:

.

IV. Если получились неопределённости вида  или , то их нужно свести к неопределённостям  или .

Примеры:а) ;

б)

V. Если получилась неопределённость вида , то нужно использовать второй замечательный предел: , , .

Примеры: а) ;

б) ;

в)

;

г) .

Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Дифференциальное исчисление занимается изучением и приложениями производных. Рассмотрим основные моменты этого раздела сначала применительно к функциям одной переменной, а затем – к функциям нескольких переменных.

Функции от одной переменной

Определение 4.Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения  функции в точке  к приращению аргумента  при  стремящемся к нулю, если этот предел существует. Производная функции  в точке  обозначается :

.

Производную функции  в точке  обозначают , .

Необходимым условием существования производной функции в заданной точке является непрерывность функции в этой точке (функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности данной точки и ). Обратное утверждение является неверным. Например, функция  непрерывна на промежутке , но в точке  производной не имеет.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.

Для вычисления производных используются таблица производных и правила дифференцирования.

Таблица производных

1) , где .

2) , где .

3) .

4) , где .

5) .

6) , где .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

Правила дифференцирования

1) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

, где .

Пример: .

2) Производная суммы (разности) двух функций, определённых на одном и том же промежутке, равна сумме (разности) производных этих функций:

.

Пример:

.

3) Производная произведения двух функций, определённых на одном и том же промежутке, вычисляется по формуле

.

Пример: .

4) Если функции  и  имеют в точке  производные и , то в этой точке существует производная их частного, которая вычисляется по формуле

.

Пример: .

5) Если функция сложная, то есть , где , то её производная может быть вычислена по правилу

.

Пример: .

Если функция  имеет конечную производную  в точке , то полное приращение функции  можно записать в виде

,

где  – бесконечно малая функция при , то есть .

Определение 5. Главная, линейная относительно , часть полного приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается . Следовательно,

.

Если , то , поэтому формула для вычисления дифференциала будет следующей:

.

Определение 6.Производной второго порядка (второй производной) функции  называется производная от её первой производной, то есть предел

,

если он существует.

Аналогично производную от второй производной называют производной третьего порядка или третьей производной.

В общем случае производной -го порядка называется производная от производной  порядка: .

Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным дифференцированием заданной функции.

Примеры: 1) , , , , … , .

2) , , , , … , .

С помощью пределов и производных производится исследование графиков функций. Изучение графика функции целесообразно производить по следующему плану.