Тема 1. ФУНКЦИИ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ПРЕДЕЛЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Е.А. Голубева

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть I

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано

объединённой учебно-методической комиссией филиалов и ФПРК

для студентов ННГУ, обучающихся по направлению

подготовки 080100 «Экономика»

Нижний Новгород

2013

УДК 517

ББК 22.16

 Г-62

Г-62 Голубева Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть I: Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2013. – 50 с.

Рецензент: к.т.н. В.А. Гришин

В учебно-методическом пособии в краткой форме излагается теоретический материал и даны примеры решения типовых задач по следующим разделам математического анализа: «Функции от одной переменной и их пределы», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление». Приведены вопросы для подготовки к зачёту и варианты контрольной работы.

Пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 080100 «Экономика». Оно поможет сориентироваться при написании контрольной работы, подготовке к практическим занятиям, экзамену или зачёту.

Ответственный за выпуск:

председатель объединённой учебно-методической комиссии

филиалов и ФПРК

к.т.н., доцент Д.Н. Шуваев

                                                                                                         УДК 517

ББК 22.16

© Нижегородский государственный

Университет им. Н.И. Лобачевского, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………....4

Тема 1. ФУНКЦИИ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ПРЕДЕЛЫ…......5

1. Основные элементарные функции…...…………...……………….....5

2. Пределы………………………………………………………………..6

3. Правила вычисления пределов последовательностей и функций…7

Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ……...……………..….11

1. Функции от одной переменной……………………………..………11

1.1. Таблица производных………………………………………….11

1.2. Правила дифференцирования………………………………….12

1.3. Схема исследования и построения графика функции……….14

2. Функции нескольких переменных………………………………….18

2.1. Частные производные………………………………………….18

2.2. Алгоритм исследования функции двух переменных

на экстремум…………………...……………………...……….20

Тема 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ……………....…......................23

1. Таблица неопределённых интегралов………………...….………...23

2. Правила интегрирования……………………………………………24

3. Методы вычисления неопределённых интегралов......…………....24

4. Определённый интеграл…………………………………………….26

5. Основные свойства определённого интеграла…………………….27

6. Приложения определённого интеграла к вычислению

площадей плоских фигур….………………...……………………..29

7. Несобственные интегралы I рода…………………………………...33

Приложение 1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЧЁТА………………………….……..35

Приложение 2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ……………37

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….....49

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплины математического цикла служат фундаментальной базой экономического образования. Математический анализ является наиболее сложной из этих дисциплин.

Настоящее пособие предназначено для помощи студентам, обучающимся по направлению подготовки 080100 «Экономика» как очной, так и заочной форм обучения.

В основу структуры пособия положен тематический принцип. Сюда вошёл материал, относящийся к таким темам математического анализа, как «Функции от одной переменной и их пределы», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление». Наряду с изложением основного теоретического материала по вышеперечисленным темам, в пособии приведены примеры решения типовых задач, вопросы для подготовки к экзамену и варианты контрольной работы.

Тема 1. ФУНКЦИИ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ПРЕДЕЛЫ

Понятие функции одно из самых важных в математике. Оно лежит в основе построения всех математических дисциплин (алгебры, геометрии, теории вероятностей). При помощи функций моделируются многие естественные и экономические процессы и явления.

Определение 1. Пусть даны два непустых множества  и . Соответствие, которое каждому элементу  из множества  сопоставляет один и толькоодин элемент  из множества , называется функцией, определённой на множестве  со значениями в .

Для обозначения функций используются буквы , , . Если функция  сопоставляет элементу  из  элемент  из , то пишут . Элемент  называется аргументом функции , элемент  из , сопоставленный элементу , – значением функции.