Схема исследования и построения графика функции

1) Найти область определения функции.

2) Исследовать функцию на четность-нечётность.

3) Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4) Отыскать асимптоты графика функции.

5) Найти интервалы монотонности и точки экстремума.

6) Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции и точки перегиба.

7) Построить график, учитывая проведенные выше исследования и, если необходимо, вычисляя значения функции в дополнительных точках.

Остановимсяподробнее на 4 и 6 пунктах.

Определение 7. Прямая линия  называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки , лежащей на графике, до прямой  стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Асимптоты делятся на вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1) нахождение вертикальных асимптот: прямая  является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  или . Вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва функции либо на границе области определения функции.

2) нахождение горизонтальных асимптот: прямая  является горизонтальной асимптотой графика функции , если  или .

3) нахождение наклонных асимптот:

а) прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при , если одновременно существуют пределы: , ;

б) прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при , если одновременно существуют пределы , .

Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость (выпуклость вверх-вниз) производится аналогично изучению монотонности и точек экстремума только с применением второй производной.

Определение 8.График функции  называется выпуклым вверх (вниз) на промежутке , если он расположен ниже (выше) любой касательной, проведенной в каждой точке этого промежутка.

Достаточным условием выпуклости вверх (вниз) является следующая теорема: если функция  имеет на интервале  вторую производную и  ( ) на , то график функции является на интервале  выпуклым вниз (вверх).

Пример. Определим интервалы выпуклости-вогнутости графика функции .

Область определения функции – множество всех действительных чисел . Вторая производная функции равна . Находим критические точки второго рода (точки, в которых вторая производная обращается в ноль или не существует): . Разбиваем область определения функции на интервалы критическими точками второго рода и методом пробных точек исследуем знаки второй производной на каждом из интервалов (см. рис. 1).

Рис. 1. Исследование на выпуклость-вогнутость графика функции

Функция выпукла вверх при , выпукла вниз при .

Определение 9.Если в точке  график функции  имеет касательную, и при переходе через неё выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка  называется точкой перегиба.

Необходимым условием точки перегиба является следующая теорема: если функция  имеет в точке  непрерывную вторую производную и в точке  есть перегиб графика этой функции, тогда .

Достаточное условие точки перегиба имеет вид: пусть функция  имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , и при переходе через точку  слева направо производная  меняет знак, тогда график функции  имеет перегиб в точке .

Таким образом, точки перегиба следует искать среди точек области определения, в которых вторая производная обращается в ноль. При переходе через точку перегиба вторая производная обязана сменить знак.

Пример.Определим точки перегиба функции . Вторая производная обращается в ноль при . Функция имеет вторую производную в окрестности точки  и при переходе через неё меняет свой знак. Следовательно,  – точка перегиба.

Пример. Исследуем и построим график функции .

1) Область определения функции: .

2) Функция нечётная, так как .

3) Точки пересечения с осью  ищем из уравнения  или . Последнее уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью  нет. График функции не имеет пересечений и с осью , так как .

4) Асимптоты:

– вертикальные: точкой разрыва графика функции является , , следовательно, прямая  является вертикальной асимптотой;

– горизонтальные: , поэтому горизонтальных асимптот нет;

– наклонные:

а) , ;

, ,

следовательно, прямая  – наклонная асимптота при ;

б) аналогично, прямая  – наклонная асимптота при .

5) Исследуем функцию на монотонность и точки экстремума. Производная функции равна . Она обращается в ноль в точках . Используем метод интервалов (см. рис. 2).

Рис. 2. Исследование на монотонность графика функции

Функция возрастает при  и , убывает при  и . Точка  является точкой минимума, ;  – точкой максимума, .

6) Проведем изучение промежутков выпуклости вверх-вниз функции и точек перегиба. Вторая производная функции равна . Она не обращается в ноль. Используем метод интервалов (см. рис. 3).

Рис. 3. Исследование на выпуклость-вогнутость графика функции

Функция выпукла вверх при , выпукла вниз при . Точек перегиба нет.

7) Построим график функции, учитывая проведённые выше исследования и вычисляя значения функции в дополнительных точках (см. рис. 4).

	0,5	-0,5	2	-2
	2,5	-2,5	2,5	2,5

Рис. 4. График функции