Методы вычисления неопределённых интегралов

I. Метод разложения (метод непосредственного интегрирования):основан на применении 3 и 4 правил интегрирования.

Примеры:а) ;

б) .

II. Метод замены переменной (метод подстановки):основан на формуле

.

Метод замены переменной применяют в двух случаях: 1) если интеграл похож на табличный, но аргументом выступает не , а линейное выражение, зависящее от ; 2) если подынтегральное выражение содержит функцию и её производную.

Примеры:а);

б);

в) ;

г) .

III. Метод интегрирования по частям:основан наформуле

,

где  и  – дифференцируемые функции от . Эта формула позволяет вычисление интеграла  свести к вычислению интеграла , который может оказаться более простым для интегрирования.

Большую часть интегралов, вычисляемых интегрированием по частям, можно разбить на три группы:

1) Интегралы вида , , , , , где  – многочлен, зависящий от . Для их вычисления следует положить  равной одной из выше указанных функций, а .

Примеры:а)

;

б)

.

2) Интегралы вида , , , где  – многочлен, зависящий от ,  – число. Для их вычисления следует положить , , ,  соответственно.

Пример:

.

3) Интегралы вида , , где  и  – числа, вычисляются двукратным применением метода интегрирования по частям.

Пример:

Выписывая начало и конец равенства, получаем

,

откуда

.

Определённый интеграл

Определение 13.Пусть функция  определена и ограничена на отрезке  и  – произвольное разбиение этого отрезка на  элементарных промежутков. Предположим, что на каждом отрезке  выбрана точка , тогда сумма

называется интегральной суммой функции  на отрезке , а её предел при , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции  в пределах от  до  и обозначается

Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке .

Для вычисления определённого интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:определённый интеграл от непрерывной на отрезке  функции  равен приращению любой её первообразной на этом отрезке:

.

Пример: .

Основные свойства определённого интеграла

1) .

2) .

3) Каковы бы ни были числа , имеет место равенство .

4) Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

, где .

5) Определённыйинтеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) определённых интегралов этих функций:

.

6) Теорема о среднем: если функция  непрерывна на отрезке , то найдётся такое значение  из этого отрезка, что .

7) Если функция  чётная, то , а если нечётная, то .

8) Замена переменной в определённом интеграле: , где  новые пределы интегрирования находятся из условий , .

Примеры: 1) ;

2)

9) Интегрирование по частям в определённом интеграле: .

Пример:

.

Определённый интеграл применяется для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг, объёмов тел.

Приложения определённого интеграла