Основные элементарные функции

1) степенная: , .

2) логарифмическая: , .

3) показательная: , .

4) тригонометрические: , , , .

5) обратные тригонометрические: , , , .

Показательная и линейная функции находят применение в финансовых вычислениях. Большинство банковских операций состоит в выдаче денег «в рост» и «под процент». Наращенный (конечный) капитал  вычисляется по формулам:

,

где  – начальный капитал,  – период начисления процентов,  – процентная ставка.

По первой формуле начисляют простые проценты, по второй – сложные. В первой формуле используется линейная зависимость, во второй формуле – показательная.

Пример.Сбербанк начисляет ежемесячно по сложной процентной ставке  годовых. Определить сумму вклада после 8 месяцев хранения, если первоначальный вклад составил 360 руб.

.

Пределы

Понятие предела – очень сложное понятие современной математики. Это хорошо иллюстрируется исторической картиной его внедрения. Само понятие появилось в середине XVII века в работах великих математиков Ньютона и Лейбница, однако строгая теория пределов была создана лишь 200 лет спустя – в XIX веке – в трудах французского математика Коши.

Рассмотрим примеры вычисления пределов простейших функций: числовых последовательностей.

Числовой последовательностью называется функция от натурального аргумента, то есть функция, заданная на множестве натуральных чисел . Числовые последовательности принято обозначать следующим образом: . Например, , ,  – числовые последовательности.

Последовательность  состоит из чисел  Если изобразить эти точки на числовой прямой, то видно, что числовая последовательность движется к нулю. Говорят, что её предел равен нулю и записывают .

Аналогично,  и ;  и .

Определение 2. Число  называется пределом последовательности , если для любого  существует номер  такой, что при любых  выполняется неравенство . Это обозначается следующим образом: .

Числовая последовательность  называется бесконечно малой, если её предел равен нулю. Например, последовательность  – бесконечно малая, так как .

Величина, обратная бесконечно малой, называется бесконечно большой. Например,  – бесконечно большая числовая последовательность. Предел бесконечно большой последовательности обозначается  или .

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая конечного предела – расходящейся.  и  – сходящиеся числовые последовательности,  – расходящаяся.

Предел функции от действительной переменной обозначается аналогично пределу числовой последовательности: .

Определение 3.Число  называется пределом функции  при , стремящемся к , если для любого положительного числа  можно указать интервал, содержащий точку , такой, что всюду внутри этого интервала, за исключением, быть может, самой точки , будет выполняться неравенство .