Алгоритм исследования функций двух переменных на экстремум

1) Вычислить частные производные первого порядка:  и . Из системы  найти точки, подозрительные на экстремум (стационарные точки). Пусть  – стационарная точка функции  (таких точек может быть несколько).

2) Вычислить частные производные второго порядка , ,  и их значения в стационарной точке: .

3) Найти значение дискриминанта .

а) Если , то в точке  экстремум есть, при этом, если  (или  при ), то в точке  функция имеет минимум, а если  (или  при ) – максимум.

б) Если , то в точке  экстремума нет.

в) Если , то требуются дополнительные исследования.

Примеры. Найдём экстремумы функций:

а) .

1) Вычислим частные производные первого порядка: , . Из системы  находим точку , подозрительную на экстремум.

2) Найдём частные производные второго порядка: , , . Значения вторых производных не зависят от  и , поэтому нет необходимости вычислять их величину в стационарной точке и , , .

3) Вычисляем значение дискриминанта . Следовательно, в точке  нет экстремума.

б) .

1) Частные производные первого порядка равны , . Точка  – стационарная точка, так как её координаты являются решением системы

2) Частные производные второго порядка равны , , . Вычислим их значения в стационарной точке: , , .

3) Дискриминант равен . Следовательно, в точке  экстремум есть. Так как ,  – точка минимума, .

в) .

1) Вычислим частные производные первого порядка: , . Находим стационарные точки, используя необходимые условия: , , ; , . Следовательно, , - стационарные точки.

2) Находим вторые частные производные: , ,  и их значения в стационарных точках: , , ; , , .

3) , поэтому в точке  нет экстремума.

. Следовательно, в точке  экстремум есть. Так как ,  – точка максимума, .

г) .

1) Вычисляем частные производные первого порядка: , . Из системы  находим стационарные точки:

, ; , ; , ; , . Следовательно, , , ,  – точки, подозрительные на экстремум.

2) Находим вторые частные производные: , ,  и их значения в стационарных точках: , , ; , , ; , , ; , , .

3) Вычисляем значения всех дискриминантов и делаем выводы. . Следовательно, в точке  нет экстремума.

, поэтому в точке  нет экстремума.

. Следовательно, в точке  экстремум есть. Так как  – точка минимума, .

, поэтому в точке  экстремум есть. Так как  – точка максимума, .

Тема 3. ИНТЕРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Основная задача дифференциального исчисления заключается в нахождении производной от заданной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: дана функция , требуется найти функцию , такую, что . Функция  при этом называется первообразной для функции .

Определение 12.Функция  называется первообразной для функции  на промежутке , если в каждой точке  этого промежутка справедливо равенство .

Пример. Найдём первообразные для функции . ,так как . Функции  и  также являются первообразными для функции . Вообще, любая функция вида , где , является первообразной для функции .

Вывод: Если функция  – первообразная для функции , то любая функция вида , где , также является первообразной для .

Совокупность всех первообразных для функции  называется неопределённым интегралом от функции  и обозначается :

, где .

Для вычисления неопределённых интегралов используют таблицу основных интегралов, правила интегрирования и методы интегрирования.

Таблица неопредёленных интегралов

1) , где .

2) , .

3) , где , .

4) , .

5) , .

6) , где , .

7) , .

8) , .

9) , .

10) , .

11) , .

12) , .

13) , где , .

14) , где , .

15) , где , .

16) , где , .

Правила интегрирования

1) .

2) , где .

3) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

, где .

4) Интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов этих функций:

.