Косвенный метод наименьших квадратов

    Для оценки параметров взаимозависимых уравнений системы (4.2) используется косвенный метод наименьших квадратов, сущность которого состоит в том, что система уравнений разрешается относительно Y, так, чтобы в правых частях уравнений оставались только факторные переменные X. Затем к полученным уравнениям применяется обычный метод наименьших квадратов, и, используя полученные оценки параметров, определяют оценки исходных параметров системы.

    Пусть строится простейшая система взаимозависимых уравнений вида

(4.4)

    Требуется по имеющимся данным о значениях переменных построить систему взаимозависимых уравнений регрессии вида:

(4.5)

    Систему (4.5) называют структурной формой модели, а параметры a₁₀, b₁₂, a₁₁, a₂₀, b₂₁ и a₂₂ — структурными коэффициентами. Подставив правую часть второго уравнения вместо переменной  в первое уравнение, после преобразований получим:

.

(4.6)

    Обозначим  как d₁₀,  как d₁₁, а  как d₁₂. Тогда уравнение (4.6) примет вид:

.

(4.7)

    Уравнение (4.7) называется приведенным уравнением системы взаимозависимых уравнений регрессии. Аналогичным образом, подставив правую часть первого уравнения системы (4.5) вместо переменной  во второе уравнение, и проведя преобразования, получимвторое приведенное уравнение

,

(4.8)

где , , .

    Уравнения (4.7) и (4.8) образуют приведенную форму системы взаимозависимых уравнений регрессии

(4.9)

а параметры уравнений d₁₀, d₁₁, d₁₂, d₂₀, d₂₁ и d₂₂ называются приведенными коэффициентами. Эти коэффициенты определяют обработкой исходных данных обычным методом наименьших квадратов. Структурные коэффициенты рассчитываются через приведенные по формулам, полученным обратным преобразованием системы (4.9) в (4.5):

; ; ; ; ; .

(4.10)

    Для того чтобы перейти от приведенной формы системы к структурной и наоборот система уравнений должна быть однозначно идентифицируема. В этом случае все ее структурные коэффициенты единственным образом определяются по коэффициентам приведенной формы системы [1, 3, 5, 8, 9, 11, 12].

Пример 4.1

    Имеются значения результативных Y₁, Y₂ и факторных X₁, X₂ переменных:

    Используя косвенный метод наименьших квадратов, требуется построить систему взаимозависимых уравнений в виде:

    Решение

    В начале строим уравнения приведенной формы системы одновременных уравнений регрессии:

    С помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия» табличного процессора EXCEL (см. § 5.3) определяем коэффициенты приведенной формы (табл. 4.1).

    Коэффициенты приведенной формы имеют следующие значения: d₁₀=2,126; d₁₁=1,201; d₁₂=1,831; d₂₀=8,424; d₂₁=1,449 и d₂₂=1,319, и система уравнений примет вид:

    Коэффициенты структурной формы системы уравнений регрессии

определяем по формулам:

    ;

    ;

    ;

    ;

    ;

    .

    Окончательно структурная форма системы примет вид:

Контрольные задания

    Используя ряды значений переменных, выполнить расчеты в соответствии с заданием к примеру 4.1.

    Каждому варианту соответствуют следующие сочетания рядов:

    Возможны и иные сочетания рядов значений переменных.