Глава 4. Системы линейных одновременных уравнений

Взаимозависимые и рекурсивные системы

    При построении уравнения множественной регрессии предполагается, что факторные переменные X₁, X₂, …, X_p изменяются независимо друг от друга. Однако в большинстве случаев изменение одной из них обычно не может происходить при абсолютной неизменности других. Причиной взаимной коррелированности факторных переменных могут быть неучтенные внешние факторы, действующие одновременно на несколько из них. Эти же внешние факторы могут воздействовать и на результативную переменную Y, вследствие чего значения факторных и результативной переменных формируются одновременно. Тогда отдельно взятое уравнение регрессии не всегда может правильно охарактеризовать истинные влияния отдельных факторных переменных на вариацию Y, и для более полного описания взаимосвязей используют системы одновременных уравнений. Они бывают трех видов:

    1.В системе независимых линейных уравнений каждая результативная переменная Y рассматривается как функция одного и того же набора факторных переменных X₁, X₂, …, X_p:

(4.1)

    Каждое уравнение этой системы может рассматриваться самостоятельно. Некоторые факторные переменные в отдельных уравнениях могут отсутствовать. Для оценки параметров моделей используется обычный метод наименьших квадратов.

    2.В системе взаимозависимых линейных уравненийодни и те же результативные переменные Y₁, Y₂, …, Y_q одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других:

(4.2)

    Каждое уравнение такой системы не может рассматриваться самостоятельно, и для оценки параметров моделей обычный метод наименьших квадратов неприменим.

    3. Система рекурсивных уравнений является частным случаем предыдущей системы. Для приведения взаимозависимых систем к рекурсивному виду сначала выбирают результативную переменную Y₁ («внутренний» показатель), зависящую только от факторных переменных X₁, X₂, …, X_p («внешние» факторы). Затем выбирают «внутренний» показатель, который зависит только от «внешних» факторов и от Y₁, и т. д. Тогда каждый последующий «внутренний» показатель будет зависеть только от «внешних» факторов и предыдущих «внутренних» показателей:

(4.3)

    Каждое уравнение системы (4.3) может рассматриваться самостоятельно, а его параметры определяются обычным методом наименьших квадратов.