Фиктивные переменные в регрессионной модели 4 страница

1. Построить линейную регрессионную модель годовой прибыли предприятия. Оценить параметры модели.

2. Проверить статистическую значимость уравнения регрессии и его коэффициентов на уровне значимости a=0,05.

3. Установить, существенна ли разница в размере годовой прибыли муниципальных и частных предприятий.

    Решение

    1. Для учета формы собственности введем фиктивную бинарную переменную Z₁. Предварительно предполагаем, что частные предприятия более эффективны и поэтому имеют при прочих равных условиях в среднем большую годовую прибыль, чем муниципальные. Поэтому фиктивной переменной Z₁ присваиваем следующие значения: z₁=1 — если предприятие частное и z₁=0 — если муниципальное. Эти значения вносим в графу «Форма собственности» таблицы исходных данных вместо слов «частная» и «муниципальная» соответственно.

    Для выявления коллинеарных факторов с помощью табличного процессора EXCEL была получена матрица парных коэффициентов корреляции между всеми переменными (табл. 3.14).

    Анализ коэффициентов корреляции между парами факторов Х₁, Х₂, Z₁ показывает, что ни один из них не превышает по абсолютной величине 0,8. Коллинеарных факторов, таким образом, не выявлено.

    Результаты регрессионного анализа в EXCEL приведены в табл. 3.15. Уравнение регрессии имеет вид:

.

    2. Коэффициент детерминации R²=0,787 показывает, что 78,7 % вариации годовой прибыли Y объясняется изменчивостью включенных в модель факторов X₁, X₂ и Z₁. Дисперсионный анализ уравнения регрессии показывает, что оно статистически значимо в целом на уровне a=0,05. Статистически значимыми являются коэффициенты при факторах Х₂ и Z₁. Хотя коэффициент при Х₁ и оказался незначимым, его t-статистика превышает по абсолютной величине единицу, поэтому фактор Х₁ можно оставить в модели (см. табл. 3.15).

    3. Значимость коэффициента при фиктивной переменной Z₁ свидетельствует о том, что разница в прибыли частных и муниципальных предприятий существенна. Положительный знак коэффициента подтверждает наше предположение о том, что частные предприятия имеют в среднем большую годовую прибыль, чем муниципальные — на 150,9 тыс. у.е.

    Значения коэффициентов уравнения регрессии при факторах Х₁ и Х₂ показывают, что каждый дополнительный обслуживаемый участок приносит предприятию в среднем 15,58 тыс. у.е. прибыли, а дополнительный рабочий высокой квалификации — в среднем 5,078 тыс. у.е.

    Заметим, что если не учитывать различий, связанных с формой собственности, то это ухудшит качество регрессионной модели. Так уравнение регрессии без фиктивной переменной

имеет существенно меньший коэффициент детерминации — R²=0,618. Разница между скорректированными коэффициентами детерминации также значительная: 0,716 для модели с фиктивной переменной и 0,542 для модели без нее.

Пример 3.5

    По торговой фирме исследуется влияние стажа работы в торговле (фактор X₁, лет) и уровня образования менеджера по продаже на размер дохода от реализации товаров (зависимая переменная Y, млн. руб.), принесенного фирме за год. Имеются сведения по пятнадцати менеджерам:

    Требуется:

1. Построить линейную регрессионную модель дохода менеджера. Оценить параметры модели.

2. Проверить статистическую значимость уравнения регрессии и его коэффициентов на уровне значимости a=0,05.

3. Установить, существенна ли разница в доходе менеджеров с разным уровнем образования.

    Решение

    1. Качественный фактор «Образование» имеет три градации (k=3): высшее, среднее специальное и общее среднее образование. Для содержательной интерпретации коэффициентов уравнения регрессии введем в модель  бинарные переменные Z₁₁ и Z₁₂, принимающие значения: z₁₁=1 — если менеджер имеет высшее образование, z₁₁=0 — во всех остальных случаях; z₁₂=1 — если менеджер имеет среднее специальное образование, z₁₂=0 — во всех остальных случаях. Еслименеджер имеет общее среднее образование, то это будет отражено парой значений z₁₁=0 и z₁₂=0 (табл. 3.16).

    В табл. 3.17 приводятся результаты корреляционного анализа в EXCEL. Анализ значений парных коэффициентов корреляции между факторами Х₁, Z₁₁, Z₁₂ свидетельствует об отсутствии коллинеарности. Следовательно, можно попробовать построить модель линейной регрессии со всеми этими факторами.

    Результаты регрессионного анализа в EXCEL приведены в табл. 3.18. Уравнение регрессии имеет вид:

.

    2. Коэффициент детерминации R²=0,772 показывает, что 77,2 % вариации годовой прибыли Y объясняется изменчивостью включенных в модель факторов X₁, Z₁₁ и Z₁₂. Дисперсионный анализ уравнения регрессии показывает, что оно статистически значимо в целом на уровне a=0,05. Из коэффициентов уравнения регрессии при факторах статистически значимыми являются только коэффициенты при X₁ и Z₁₁ (см. табл. 3.18).

    3. Значимость коэффициента при Z₁₁ и незначимость коэффициента при Z₁₂ свидетельствует о том, что существенная разница в доходе имеется только для менеджеров с высшим образованием. Более того, t-статистика коэффициента при Z₁₂ меньше по абсолютной величине единицы. Поэтому фиктивную переменную Z₁₂ следует исключить из модели, в результате чего в ней останется только одна фиктивная переменная — Z₁₁ (z₁₁=1 — если менеджер имеет высшее образование, z₁₁=0 — во всех остальных случаях). Повторно проводим регрессионный анализ в EXCEL (табл. 3.19).

Уравнение регрессии второй модели будет иметь вид:

.

    Коэффициент детерминации R²=0,755 показывает, что 75,5 % вариации годовой прибыли Y объясняется изменчивостью включенных в модель факторов X₁ и Z₁₁. Скорректированный (нормированный) коэффициент детерминации второй модели выше, чем первой: 0,714 против 0,710, что указывает на обоснованность исключения из модели фиктивной переменной Z₁₂.

    Дисперсионный анализ второго уравнения регрессии показывает, что оно статистически значимо в целом на уровне a=0,05. Статистически значимы на уровне a=0,05 и коэффициенты уравнения регрессии при факторах X₁, Z₁₁ (см. табл. 3.19).

    Значимость коэффициента при Z₁₁ свидетельствует о том, что имеется существенная разница в годовом доходе, приносимом фирме менеджерами с высшим образованием. В среднем их объем реализации превышает этот показатель для менеджеров со средним образованием на 15,93 млн. руб. Что касается фактора X₁, то значение коэффициента при нем показывает, что каждый дополнительный год работы менеджера в торговле способствует росту годового объема реализации в среднем на 6,00 млн. руб.

Пример 3.6

    Исследуются различия в средней стоимости квадратного метра общей площади квартиры (переменная Y, у.е.) в зависимости от района города (фиктивная переменная Z₁: z₁=1 — центральный район, z₁=0 — периферийные районы), типа дома (фиктивная переменная Z₂: z₂=1 — кирпичный дом, z₂=0 — панельный дом) и этажа (фиктивная переменная Z₃: z₃=1 — квартира расположена на средних этажах, z₃=0 — квартира расположена на крайних этажах). Имеются данные по двадцати однородным квартирам:

    Требуется:

1. Построить линейную регрессионную модель стоимости квадратного метра квартиры. Оценить параметры модели.

2. Проверить статистическую значимость уравнения регрессии и его коэффициентов на уровне значимости a=0,05.

3. Установить, существенна ли разница в стоимости квадратного метра квартиры в зависимости от района города, типа дома и этажа.

    Решение

    1. Матрица парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными приведена в табл. 3.20. Ее анализ указывает на отсутствие коллинеарных факторов.