Фиктивные переменные в регрессионной модели 1 страница

    В линейную модель множественной регрессии, как правило, включаются количественные факторы X₁, X₂, …, X_p, принимающие значения из некоторого интервала, непрерывного либо дискретного. Однако может возникнуть необходимость учесть влияние на зависимую переменную Y и факторов, не измеряемых в числовой шкале (например, формы собственности предприятия, сезонности, региона, климатических условий, пола работника, его уровня образования и т.п.). Такие качественные факторы могут иметь два и более атрибута (градации). Чтобы ввести качественный фактор в регрессионную модель, его необходимо преобразовать в количественную переменную, т.е. присвоить каждому атрибуту те или иные числовые значения. Эту преобразованную переменную называют фиктивной (условной), а модель регрессии, включающую в себя хотя бы одну фиктивную переменную, называют моделью с переменной структурой. Основной целью построения такой модели является учет влияния неоднородности качественной структуры исследуемой совокупности.

В качестве фиктивных обычно используют бинарные переменные, принимающие только два значения (уровня): «0» или «1». Такие переменные также называются двоичными, дихотомическими, альтернативными, или булевыми. К примеру, если необходимо изучить зависимость общей рентабельностипредприятия Y не только от количественных факторов X₁, X₂, …, X_p, но и от фактора «форма собственности», то в модель вводят фиктивную переменную Z₁, принимающую значения: z₁=1 — если предприятие негосударственное и z₁=0 — если предприятие государственное.

    Регрессионная модель рентабельности, в этом случае, примет вид:

.

(3.58)

    Параметр регрессии g₁ при фиктивной переменной Z₁ показывает, на сколько в среднем рентабельность негосударственных предприятий в исследуемой совокупности выше, чем государственных при неизменных значениях остальных факторов X₁, X₂, …, X_p. Если не учитывать различия, связанные с формой собственности, то они могут либо уйти в остаточную вариацию результата Y, ухудшив модель, либо смешаться с влиянием тех или иных количественных факторов, искажая меру их влияния на Y.

    В модель множественной регрессии можно одновременно ввести несколько фиктивных переменных Z₁, Z₂, …, Z_u:

.

(3.59)

    Обычно значение, равное единице, присваивают фиктивной переменной для той группы исследуемых объектов, у которых значение результата Y предположительно в среднем выше, чем у объектов альтернативной группы. Положительный знак коэффициента уравнения регрессии при фиктивной переменной и его статистическая значимость в дальнейшем подтверждают это предположение. При отрицательном знаке следует сделать обратный вывод.

    Применение фиктивной переменной с другими значениями или с большим числом уровней затрудняет содержательную экономическую интерпретацию соответствующего коэффициента уравнения регрессии. Например, если число k уровней качественного признакаболее двух ( ), то в принципе в регрессионную модель можно было бы ввести дискретную переменную, принимающую такое же количество значений. Так, если расширить трактовку фактора «форма собственности» до трех групп: государственные, кооперативные и частные предприятия, то при построении модели рентабельности можно рассматривать три значения (k=3) фиктивной переменной Z₁, например: z₁=1 — если предприятие государственное, z₁=2 — если кооперативное, и z₁=3 — если частное. Однако содержательная интерпретация коэффициента уравнения регрессии при Z₁ тогда будет невозможна. Вместо этого в модель следует ввести  бинарных переменных и для учета влияния формы собственности включают  бинарные переменные — Z₁₁ и Z₁₂:

,

(3.60)

где z₁₁=1 — если предприятие частное, z₁₁=0 — во всех остальных случаях; z₁₂=1 — если предприятие кооперативное, z₁₂=0 — во всех остальных случаях.

    Третьей бинарной переменной, очевидно, не требуется: еслипредприятие государственное, то это будет отражено парой значений z₁₁=0 и z₁₂=0. Более того, вводить третью бинарную переменную Z₁₃ со значениями z₁₃=1, если предприятие государственное и z₁₃=0 — в остальных случаях, нельзя, так как это приведет к невозможности получения оценок параметров модели при фиктивных переменных методом наименьших квадратов.

    Параметры модели при Z₁₁ и Z₁₂ интерпретируются следующим образом. Параметр g₁₁ показывает, на сколько средняя рентабельность частных предприятий при прочих равных условиях выше средней рентабельности государственных предприятий, которые приняты за базу для сравнения. Аналогично параметр g₁₂ показывает превышение средней рентабельности кооперативных предприятий над этим показателем у государственных предприятий.

    Модели регрессии (3.58) — (3.60) называются моделями без ограничений. Если значения каких-либо фиктивных переменных равны нулю, то получаются частные модели регрессии. Так, если в модели (3.60) все значения фиктивных переменных равны нулю: z₁₁=0 и z₁₂=0, то получается модель (3.2), которая в этом случае называется базисной моделью, или моделью регрессии с ограничениями. Данная модель является частной моделью государственного предприятия. Частная модель регрессии частного предприятия (z₁₁=1, z₁₂=0) образуется путем добавления параметра g₁₁ к свободному коэффициенту b₀:

.

(3.61)

    Аналогично частная модель кооперативного предприятия (z₁₁=0, z₁₂=1):

.

(3.62)

    На практике могут использоваться регрессионные модели только с фиктивными переменными-факторами. Пусть, например, изучаются различия в средней стоимости квадратного метра общей площади квартиры (переменная Y), в зависимости от района города, типа дома и этажа (фиктивные переменные Z₁, Z₂ и Z₃ соответственно). Модель регрессии в этом случае может иметь вид:

,

(3.63)

где z₁=1 — если дом расположен в центральном районе города, z₁=0 — если дом расположен в периферийном районе; z₂=1 — если дом кирпичный, z₂=0 — если дом панельный; z₃=1 — если квартира расположена на средних этажах, z₃=0 — если квартира расположена на крайних этажах.

    Базисной моделью здесь является модель средней стоимости квадратного метра квартиры на крайних этажах (z₃=0) в панельном доме (z₂=0), расположенном в периферийном районе города (z₁=0). Параметр g₀ модели (3.63) и показывает среднюю стоимость квадратного метра такой квартиры. Параметр g₁ характеризует разницу в средней стоимости квадратного метра квартир, расположенных в центральном и периферийном районах города, параметр g₂ — эту разницу в зависимости от типа дома, параметр g₃ — в зависимости от этажа.

    Параметры модели с фиктивными переменными оцениваются по исходным данным обычным методом наименьших квадратов. Предварительно следует провести проверку на коллинеарность, причем как фиктивных переменных между собой, так и фиктивных переменных с количественными факторами (см. § 3.4).

    Уравнение регрессии модели (3.59) выглядит следующим образом:

,

(3.64)

где g₁, g₂, …, g_u — оценки соответствующих параметров g₁, g₂, …, g_u модели.

    После построения уравнения регрессии проверяется его статистическая значимость в целом и значимость отдельных коэффициентов соответственно по критериям Фишера и Стьюдента. Значимость коэффициента при фиктивной переменной на принятом уровне значимости a свидетельствует о существенном (значимом) различии между значениями результата Y для разных уровней фиктивной переменной и, соответственно, групп исследуемых объектов.

    Если значимость коэффициентапри фиктивной переменной не установлена, то разница между градациями соответствующего качественного фактора признается несущественной. Если значение t-статистики при этом превышает по абсолютной величине единицу, то фиктивная переменная все же может считаться в какой-то степени информативной. Однако, если t-статистика по абсолютной величине меньше единицы, то соответствующую фиктивную переменную следует исключить из модели и заново построить уравнение регрессии уже без нее. Следует, однако, учитывать, что незначимость коэффициента при фиктивной переменной может быть вызвана и недостаточным объемом выборки.

    Возвратимся к рассмотренным выше примерам. Пусть строится модель с одной фиктивной переменной (3.58) и уравнение регрессии будет иметь вид:

.

(3.65)

    Если коэффициент g₁ признается статистически значимым на принятом уровне a, то это означает, что разница между рентабельностью частных и государственных предприятий в исследуемой совокупности признается существенной, а фиктивная переменная Z₁ введена в модель обоснованно.

    Пусть, к примеру, исследуется зависимость рентабельности однородных предприятий (зависимая переменная Y, %) от стоимости основных фондов (фактор X₁, млн. руб.) и формы собственности (фиктивная переменная Z₁: z₁=1— если предприятие негосударственное, z₁=0 — если предприятие государственное), и по имеющимся данным было получено уравнение регрессии

.

    Базисной моделью здесь является модель рентабельности государственного предприятия (z₁=0), уравнение регрессии которой

.

    Предположим, что коэффициент при фиктивной переменной Z₁ оказался статистически значимым на принятом уровне a=0,05. Тогда можно утверждать, что рентабельность негосударственных предприятий в среднем на 4,34 % выше, чем государственных. Коэффициент регрессии при переменной X₁ показывает, что рост стоимости основных фондов на 1 млн. руб. приводит в среднем к снижению рентабельности на 0,032 % как государственных, так и негосударственных предприятий.

    Уравнение регрессии модели (3.60) выглядит следующим образом:

.

(3.66)

    Пусть, к примеру, коэффициент g₁₁ оказался статистически значимым, а коэффициент g₁₂ — незначимым. Тогда разница между рентабельностью частных и государственных предприятий признается существенной, а разница между рентабельностью кооперативных и государственных предприятий — несущественной. Если t-статистика коэффициента g₁₂ при этом по абсолютной величине меньше единицы, то фиктивную переменную Z₁₂ следует исключить из модели и перейти к построению модели с одной фиктивной переменной (3.58).

    Допустим, исследуется зависимость рентабельности однородных предприятий (зависимая переменная Y, %) от стоимости основных фондов (переменная X₁, млн. руб.) и формы собственности (бинарные переменные Z₁₁ и Z₁₂: z₁₁=1 — если предприятие частное, z₁₁=0 — во всех остальных случаях; z₁₂=1 — если предприятие кооперативное, z₁₂=0 — во всех остальных случаях), и было построено уравнение регрессии

.

    Видно, что рост стоимости основных фондов на 1 млн. руб. приводит к снижению рентабельности всех предприятий в среднем на 0,028 %.

    Базисной моделью здесь является модель рентабельности государственного предприятия (z₁₁=0, z₁₂=0), для которой уравнение регрессии

.

    Пусть коэффициенты при фиктивных переменных Z₁₁ и Z₁₂ оказались статистически значимыми на принятом уровне a=0,05. Уравнение регрессии частной модели рентабельности частного предприятия (z₁₁=1, z₁₂=0) примет вид:

.

    Таким образом, средняя рентабельность частных предприятий при одинаковой стоимости основных фондов на 2,76 % выше средней рентабельности государственных предприятий.

    Аналогично для кооперативных предприятий (z₁₁=0, z₁₂=1) уравнение регрессии частной модели

.

    Видно, что рентабельность кооперативных предприятий оказалась в среднем на 1,98 % выше рентабельности государственных предприятий.

    Разница между коэффициентами при фиктивных переменных Z₁₁ и Z₁₂ —  %, показывает, на сколько в среднем рентабельность частных предприятий выше рентабельности кооперативных предприятий.

    Уравнение регрессии модели только с фиктивными переменными (3.63) будет иметь вид:

.

(3.67)

    Пусть, например, по имеющимся данным было получено уравнение регрессии модели средней стоимости квадратного метра квартиры

,

и все коэффициенты при фиктивных переменныхоказались статистически значимыми на принятом уровне a. Эти коэффициенты интерпретируются следующим образом: средняя стоимость квадратного метра квартиры на крайних этажах (z₃=0) в панельном доме (z₂=0), расположенном в периферийном районе города (z₁=0), составляет 532,1 у.е.; если дом располагается в центральном районе, то средняя стоимость квадратного метра возрастает на 187,6 у.е.; кирпичный дом дополнительно повышает среднюю стоимость квадратного метра на 142,4 у.е., а расположение квартиры на средних этажах — на 92,3 у.е.

    Следует иметь в виду, что надежные оценки параметров модели (3.63) могут быть получены только при построении уравнения регрессии по достаточно большому числу наблюдений. Обычно при построении такой модели объем выборки должен превышать число факторов в шесть и более раз.

Решение типовых задач

Пример 3.1

    Изучается зависимость чистой годовой прибылистраховой компании (зависимая переменная Y, тыс. руб.) от следующих факторов:

· X₁ — годовой размер собственных средств (тыс. руб.);

· X₂ — годовой размер страховых резервов (тыс. руб.);

· X₃ — годовой размер страховых премий (тыс. руб.);

· X₄ — годовой размер страховых выплат (тыс. руб.);

· X₅ — численность страховых агентов;

· X₆ — форма собственности (0 — государственная, 1 — частная):

    Требуется:

1. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными и выявить коллинеарные факторы.

2. Построить уравнение линейной регрессии с полным перечнем факторов. Оценить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

3. Построить уравнение регрессии, не содержащее коллинеарных факторов. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

4. Построить уравнение регрессии, содержащее только информативные факторы. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

    Пункты 5 — 9 относятся к уравнению регрессии, построенному при выполнении пункта 4.

5. Оценить качество и точность уравнения регрессии.

6. Дать экономическую интерпретацию коэффициентам уравнения регрессии и сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

7. Построить график остатков и проверить выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов.

8. Рассчитать прогнозное значение годовой прибыли Y, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений.

9. Построить доверительный интервал прогноза фактического значения годовой прибыли Y c надежностью 80 %.

    Решение

    Для решения задачи используем табличный процессор EXCEL.

    1. С помощью надстройки «Анализ данных… Корреляция» (см. § 5.2) строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными (табл. 3.3).

    Анализ значений коэффициентов корреляции между парами факторов Х₁, Х₂, …, Х₆ показывает, что только коэффициент корреляции между факторами Х₁ и Х₃ превышает по абсолютной величине 0,8 (выделен в таблице заливкой). Факторы Х₁ и Х₃ являются, таким образом, коллинеарными.

    2. С помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия» (см. § 5.3) строим уравнение линейной регрессии с полным перечнем факторов. Результаты регрессионного анализа в EXCEL приведены в табл. 3.4. Уравнение регрессии с полным перечнем факторов имеет вид:

.

    Проверим статистическую значимость уравнения регрессии. Табличное значение F-критерия Фишера можно определить с помощью встроенной функции EXCEL «FРАСПОБР» (см. § 5.4). Для уровня значимости a=0,05 и чисел степеней свободы числителя (регрессии)  (где p=6 — число факторов в модели) и знаменателя (остатка)  табличное оно составляет F_таб=2,60.