Линейная модель парной регрессии. Оценка параметров модели методом наименьших квадратов

    Линейная регрессионная модель находит широкое применение для описания экономических явлений и процессов из-за своей простоты. Предположим, что истинная связь между переменными X и Y — линейная, тогда линейная модель парной регрессии Y по X имеет вид:

,

(2.3)

где y — фактическое значение результата Y, соответствующее значению x фактора X; b₀, b₁ — истинные параметры модели; e — возмущение (случайная величина, характеризующая влияние на результат Y других факторов помимо X — неучтенных в модели и случайных).

    Достоинством линейной регрессии является то, что ее параметры имеют четкую экономическую интерпретацию: свободный коэффициент b₀ — это среднее значение результата Y при x=0 (если это, вообще говоря, возможно); угловой коэффициент b₁ показывает, на сколько единиц в среднем изменяется результат Y при росте фактора X на одну единицу.

    Истинные параметры b₀ и b₁ модели, как правило, неизвестны. Однако по статистическим данным можно оценить их значения. Пусть имеется n независимых наблюдений Y при соответствующих значениях X: (x₁, y₁), (x₂, y₂),…, (x_n, y_n). Оценка параметров b₀ и b₁ по этим данным дает уравнение регрессии

,

(2.4)

где  — предсказываемое уравнением регрессии значение результата Y, соответствующее значению x фактора X; b₀, b₁ — оценки (приближенные значения) истинных параметров b₀ и b₁.

    Разность  между фактическим y и расчетным  значениями результата Y называется остатком регрессии. Для определения коэффициентов уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов, в соответствии с которым значения b₀ и b₁ выбираются такими, чтобы сумма квадратов остатков регрессии SS_ост была наименьшей (рис. 2.2):

.

    Свободный b₀ и угловой b₁ коэффициентыопределяются по формулам:

	.	(2.5)
	.	(2.6)

    Значение углового коэффициента b₁ можно определить и по формуле

;

(2.7)

где ,  — средние квадратические (стандартные) отклонения переменных Y и X в исходных данных.

    Из формулы (2.7) видно, что угловой коэффициент b₁ связан с коэффициентом корреляции r_y,x: при прямой связи — , при обратной — . При равенстве коэффициента корреляции нулю, коэффициент b₁ также равен нулю и линия регрессии в этом случае параллельна оси x (см. рис. 2.1, д, е).

    Влияние неучтенных в модели (2.3) и случайных факторов оценивается стандартной ошибкой регрессии

.

(2.8)

рис. 2.2. График линейной регрессии и сущность МНК

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒