Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Полугруппы, группы, решетки
Алгебра с одной бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Эта операция обычно называется умножением и обозначается или ab. Такая запись называется мультипликативной. В частности аа обозначается как , ааа как и т. д. В общем случае . Полугруппа называется коммутативной, если операция умножения коммутативна. Если полугруппа содержит такой элемент е, что для любого а выполняется , то такой элемент называется единицей. Полугруппа с единицей называется моноидом. Пример 1. Множество действительных чисел с операцией умножения является полугруппой с единицей. Здесь е = 1. Утверждение 1. Единица в полугруппе всегда единственна. Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента а существует обратный элемент , удовлетворяющий условию . Утверждение 2. Для каждого элемента а в группе существует единственный обратный элемент . Число элементов группы называется порядком группы. Группа называется абелевой, если операция группы коммутативна. Группа, все элементы которой является степенями одного и того же элемента а, называется циклической. Утверждение 3. Циклическая группа всегда абелева. Пример 2. Множество целых чисел с операцией сложения является циклической. Пример 3. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой группой. Единицей по сложению является . Для каждого числа существует обратный (здесь: противоположный) – z < 0. И наоборот. Для числа 0 противоположным является число 0. Множество, на котором кроме операций заданы отношения называется алгебраической системой. Таким образом, алгебра является частным случаем алгебраической системы. Рассмотрим частный случай алгебраической системы – решетку. Пусть дано частично-упорядоченное множество М. Отношение порядка в общем случае будем обозначать . Верхней гранью элементов а и b из М называется элемент , такой что и . Нижней граньюэлементов а и b из М называется элемент , такой что и . В общем случае для некоторых элементов а и b нижняя грань может не существовать или не быть единственной. Решеткой называется частично упорядоченной множество, в котором для любых двух элементов а и b существует и единственна наибольшая нижняя грань, обозначаемая и наименьшая верхняя грань, обозначаемая . Таким образом решетка – это алгебраическая система вида с одним бинарным отношением и одной бинарной операцией. Пример 4. Любое полностью упорядоченное множество (например, множество целых чисел) можно превратить в решетку, определив для любых а и b из М ; . УПРАЖНЕНИЯ 1. Проверить коммутативность и ассоциативность операций. 1) сложение чисел; 2) умножение чисел; 3) сложение матриц; 4) умножение матриц (проверить на примере квадратных матриц А, В и С 2-ого порядка); 5) возведение в степень; 6) ln xy (где х, у >0); 7) х-у; з) х/у. 2.Проверить дистрибутивность слева и справа операции ψ отношению к операции φ. 1) φ – сложение чисел, ψ – умножение чисел; 2) φ – умножение чисел, ψ – сложение чисел; 3) φ – объединение множеств, ψ – пересечение множеств; 4) φ – пересечение множеств, ψ – объединение множеств; 5) φ – умножение чисел, ψ – возведение в степень; 6) φ – возведение в степень, ψ – умножение чисел; 7) φ – возведение в степень, ψ – сложение чисел. 3. На множестве задать с помощью таблицы Келли операции – сложение по модулю 4 и – умножение по модулю 4. Продемонстрировать на примере их коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность по отношению к , отсутствие дистрибутивности по отношению к . 4. На множестве задать с помощью таблицы Келли операции – сложение по модулю 16 и – умножение по модулю 16. Найти значения выражений: 1) ; 2) . 5. В конечной алгебре поля рассчитать значения выражений: 1) ; 2) . 6. В поле , операции которого заданы таблицами Келли
1) единичный элемент по операции * ; 2) единичный элемент по операции + ; 3) противоположный и обратный элемент для каждого элемента ; 4) найти значения выражений: а) ; б) ; в) . 5) решить систему ; . 7. Дано множество . Задано поле , где
Найти единичные элементы по операциям и +, противоположные элементы для каждого, решить систему: ; . 8. Доказать единственность единичного элемента в группе. 9. Доказать единственность обратного элемента в группе. 10. Пусть – ассоциативная операция, заданная на множестве А, такая что для каждого элемента существует обратный элемент . Доказать, что . 11. Дано . На множестве А заданы преобразования . На множестве преобразований задана операция композиции преобразований . Проверить, будет ли алгебра полугруппой. 12. Составить полугруппу с операцией – композиция преобразований, для которой множество подстановок является системой образующих. Что надо сделать, чтобы эта полугруппа стала моноидом. 13. Пусть S – множество всех перестановок . Определить свойства алгебры . Будет ли оно группой? Будет ли группа абелевой? 14. Будет ли алгебра (B (U), ) решеткой? Изобразить диаграмму Хасса. 15. Будет ли алгебра ( ) решеткой? Изобразить диаграмму Хасса. 16. Является ли решеткой множество целых чисел Z с операциями и , таких что для любых выполняется: , . 17. Будет ли решеткой множество, диаграмма Хасса которой изображена на рисунке. Почему?
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
18. Проверить на примере выполнение условия изоморфизма между алгебрами: 1) (B (U), , ┐) и ( , ┐); 2) ( , ┐); (B (U), , ┐) , где . 19. Определить изоморфны ли алгебры: 1) и , где гомоморфизм задается ; 2) и , где гомоморфизм задается ; 3) и , где гомоморфизм задается ; 4) и , где гомоморфизм задается ; 5) и , где гомоморфизм задается ; 6) и , где гомоморфизм задается ; 7) и , где гомоморфизм задается . ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ГРАФОВ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 224. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |