Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Алгебры разного типа, очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется с помощью вводимых ниже понятий гомоморфизма и изоморфизма.

Пусть даны две алгебры

и

одинакового типа, т. е. арности  и ;  и ;  и  – одинаковы.

Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение  – , удовлетворяющее условию:

    (1)

для всех  (  – арность операций  и ).

Смысл условия (1):

независимо от того, выполнена ли сначала операция  в множестве K и затем произведено отображение Г, либо сначала произведено отображение Г, а затем в множестве M выполнена соответствующая операция , результат будет одинаков.

Изоморфизмом алгебры А на алгебру В называется взаимно однозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение , так же взаимно однозначное.

Пусть , . Тогда . Заменим в (1) левые части этих равенств на правые и применим  к обеим частям получившегося равенства. Так как , то получим:

,

учитывая, что , получим

. (2)

Равенство (2) – это то же равенство (1) с заменой Г на , элементов множества K на элементы множества М и переменой местами  и . Иначе говоря,   – это изоморфизм В на А.

Утверждение 1:

Если существует изоморфизм А на В, то существует изоморфизм В на А; при этом алгебры А и В называются изоморфными.

Утверждение 2:

Мощности несущих множеств изоморфных алгебр равны (при гомоморфизме это равенство может не выполняться).

Автоморфизм на себя илиавтоморфизм – это гомоморфизм при условии, что А = В.

Изоморфизм в себя – изоморфизм .

Примеры:

1. Пусть  – множество всех целых чисел;  – множество всех четных чисел;  

а) алгебры  и  изоморфны. Изоморфизмом является отображение , причем, условие (1) здесь имеет вид: 2 (a + b) = 2a + 2b. Поскольку , то Г – изоморфизм алгебры  в себя.

б) отображение  является для алгебры  автоморфизмом.

Условие (1) имеет вид:

.

в) отображение  для алгебры  не является автоморфизмом, так как

.

2. Изоморфизмом между алгебрами   и  является отображение ( – положительное подмножество R).

Условие (1) имеет вид равенства:

.

3. Булевы алгебры Кантора B(U), ) и B( ), ), образованные двумя различными множествами U и  одинаковой мощности, изоморфны. Операции у них просто одинаковы, а отображением Г может служить любое взаимно однозначное соответствие между U и .

Утверждение 3:

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр:

– рефлексивность отношения изоморфизма очевидна;

– симметричность следует из существования обратного изоморфизма;

– транзитивность устанавливается следующим образом: если  – изоморфизм А на В,  – изоморфизм В на С, то изоморфизмом А на С будет композиция  и .

Классами эквивалентности в разбиении по отношению изоморфизма являются классы изоморфных между собой алгебр. Понятие изоморфизма – одно из важнейших в математике. Его сущность, как видно из примеров можно выразить так: если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции в В можно переименовать так, что В совпадет с А.

 Из условия (1) изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется в любой изоморфной ей алгебре . Это позволяет получить такие соотношения в алгебре А и автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Распространенное в математике выражение «рассматривать с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т. е. являются общими для всех изоморфных объектов.

В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.