Свойства бинарных алгебраических операций

Условимся, чтобы последующие соотношения выглядели более привычно, результат применения бинарной операции  к элементам а и b записывать не в функциональном виде , а в виде  (как это принято в арифметических операциях).

Операция  называется ассоциативной, если для любых элементов а, b, с

.

Выполнение условия ассоциативности означает, что скобки в выражении    можно не расставлять.

Пример:

1. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что позволяет не ставить скобки в выражениях  и .

2. Возведение в степень  – не ассоциативна, так как

не равно .

3. Композиция отображений – ассоциативная операция.

Операция  называется коммутативной, если для любых элементов a, b

.

Пример:

1. Сложение чисел коммутативно («от перемены мест слагаемых сумма не меняется»): .

Умножение чисел коммутативно: .

2. Вычитание и деление – некоммутативные операции.

Умножение матриц – некоммутативная операция, например:

, но .

Операция  называется дистрибутивной слева относительно операции , если для любых a, b, с

.

Операция  называется дистрибутивной справа относительно операции , если для любых a, b, с

.

Дистрибутивность разрешает раскрыть скобки.

Примеры:

1. Умножение дистрибутивно относительно сложения слева и справа

;   .

2. Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа.

,

но не слева, так как   не равно

.

3. Сложение не дистрибутивно относительно умножения

,

.