Введение в дискретную теорию вероятностей

Стохастический эксперимент - это эксперимент, результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя.

Каждый неразложимый исход опыта (эксперимента) называется элементарным событиеми обозначается . Множество всех элементарных событий, относящихся к одному и тому же эксперименту, называется пространством элементарных событий и обозначается .

Случайным событием или просто событиемназывается любое подмножество пространства элементарных событий . События обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, . . .

Свойства элементарных событий:

- элементарные события являются взаимно исключающими друг друга;

- в результате опыта обязательно происходит одно из элементарных событий;

- каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А.

Пусть  - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечет наступление А. Говорят, что эти элементарные события благоприятствуют событию А. (Множество этих элементарных событий обозначают тем же символом А, что и соответствующее событие).

Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество А. То есть мы отождествляем событие А и соответствующее ему множество А элементарных событий.

Событие, состоящее из всех возможных элементарных событий , называется достоверным и обозначается  (так же, как и пространство элементарных событий). (Достоверное событие наступает в результате появления любого элементарного события. Но тогда ему благоприятствует любое ).

Невозможным называется событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Ему соответствует пустое множество элементарных событий: .

Соотношения между событиями:

1. Если каждое появление события А сопровождается появлением события В, то говорят, что А влечет В, или А является частным случаем В, или В является следствием события А, или А благоприятствует В ( ). Если , то каждое элементарное событие, входящее в А, содержится в событии В.

2. События А и В называются равносильными (равными, эквивалентными) ( ), если они состоят из одних и тех же элементарных событий, т.е. всегда происходят или не происходят одновременно.

3. Суммой (объединением) событий А и В (  или ) называется событие, которое состоит из элементарных событий, входящих хотя бы в одно из событий А и В, т. е. событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В (или А или В)

Очевидно, что: ;    , А + А = А.

4. Произведением (пересечением) двух событий А иВ (АВ  или ) называется событие, которое состоит из элементарных событий, входящих и в событие А, и в событие В одновременно, т. е. событие, происходящее только тогда, когда происходит и событие А, и событие В.

Очевидно, что: ; ; .

5. Два события называются несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно. Следовательно, если А и В несовместны, то АВ = .

Элементарные события попарно несовместны:  при .

6. Событием, противоположным событию А ( ) называется событие, которое состоит из всех элементарных событий, не входящих в А. Противоположное событие происходит тогда и только тогда, когда А не происходит.

Очевидно, что: ; .

7. Разностью событий А и В (  или ) называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А и не происходит событие В.        

Очевидно, что: ; .

8. События  образуют полную группу событий, если .

Свойства операций над событиями:

1. ;            2. ;

3. ;          4.  A + B = B + A, AB = BA ;

5.  A(BC) = (AB)C,             6. A + (B + C) = (A + B) + C ;

6.  A(B + C) = AB + AC ; 7. .

Рассмотрим пространство элементарных событий , соответствующее некоторому стохастическому эксперименту, и пусть  F - некоторая система случайных событий.

Система событий F называется алгеброй событий, если выполняются условия:

1) ;

2) если ;

3) если А и В  и .

Отсюда следует, что применяя любые из введенных выше операций к произвольной системе событий из F, получим событие, так же принадлежащее F. Таким образом, алгеброй событий называется класс событий, замкнутый относительно операций объединения, пересечения и дополнения.

Вероятность события численно характеризует степень объективной возможности этого события.

Пусть  - пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и в  выделена система событий F, являющаяся алгеброй событий.

Аксиомы Колмогорова

 Если каждому событию  поставлено в соответствие число р(А) и верны свойства:

1) ;            2) ;

3) если А и В несовместны , то р(А+В) = р(А) + р(В),

тогда число р(А) называется вероятностьюслучайного события А.

Свойства вероятности

1) ;

2) Если события A и В - несовместны, то р(А+В) = р(А) + р(В);

3) .

Пространство элементарных событий  с выделенной в нем алгеброй событий F и определенной на измеримом пространстве ( , F) вероятностной мерой р(А), , называется вероятностным пространством и обозначается ( , F, p(A)).