Теорема 3. Никакие два из множеств

         (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Обозначим -е множество этой последовательности символом . Предположим, что существуют такие  и , что  и  равномощно подмножеству .

Ясно, что  тогда будет равномощно некоторой части множества , а именно той части, которая состоит из всех одноэлементных множеств , где .

Отсюда следует, что множество  также равномощно некоторому подмножеству множества .

Повторив это рассуждение     достаточное число раз, придем к заключению, что каждое из множеств  равномощно какому-то подмножеству множества , а это противоречит теореме 2, т.к. .

Теорема 4. Пусть семейство множеств  обладает свойством: для каждого  существует множество , не ранвомощное никакому подмножеству множества .      (2)

Тогда сумма  не равномощна никакому  и никакому его подмножеству.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Предположим, что . Тогда существует такая взаимно однозначная функция , что . Согласно (2), существует множество , не равномощное никакому подмножеству множества . Т.к. , то , т.е. , откуда . Это противоречие и доказывает теорему.

Из теорем 3 и 4 следует, что различных бесконечных кардинальных чисел бесконечно много. Исходя из множества  натуральных чисел, имеющего мощность , построим множества

       (3),

среди которых (согласно теореме 3) нет ни одной пары равномощных. Таким способом можно получить бесконечно много различных кардинальных чисел.

Из аксиомы замены вытекает существование семейства А, элементами которого служат все множества (3).

Семейство А в силу теоремы 3 обладает свойством (2). Тогда по теореме 4 мощность суммы  отлична от мощностей любого из множеств (3) и их подмножеств. Снова применяя теорему 3, получаем последовательность

        (4),

каждые два множества которой имеют различные мощности и ни одно из них не равномощно никакому из множеств (3).

Таким образом, получаем бесконечно много новых кардинальных чисел.

Другие кардинальные числа получаем, беря семейство В всех множеств (3) и (4) и строя последовательность

.

Этот процесс можно продолжать бесконечно. Отсюда видно, что шкала всех бесконечных кардинальных чисел намного богаче шкалы конечных мощностей (которая совпадает со шкалой целых положительных чисел).

Отметим дальнейшие следствия теоремы 2.

Теорема 5. Не существует такого семейства множеств , которое для каждого множества  содержало бы множество , равномощное множеству .

По теореме 2 множество  не равномощно никакому подмножеству множества  и, значит, не равномощно никакому подмножеству , принадлежащему (поскольку из следует ).

Теорема 6. Не существует множества всех множеств.   

В противном случае это множество было бы множеством из теоремы 5.

Теорема 6 снова указывает, что нельзя приянть аксиому, утверждающую существование для каждой высказывательной функции  множества, состоящего из элементов, удовлетворяющих этой функции (смотреть главу II, §3).

Теорема 5 еще раз подтверждает большое разнообразие кардинальных чисел: их так много, что нельзя образовать множества, содержащего по крайней мере по одному множеству каждой мощности.