Модели скользящего среднего.

Модель скользящего среднего предполагает, что в ошибках модели в предшествующие периоды сосредоточена информация обо всей предыстории ряда. В этой модели каждое новое значение – среднее между текущей флуктуацией и несколькими (в частности, одной) предыдущими ошибками.

Процесс скользящего среднего порядка q , обозначаемые MA(q) имеют вид:

                                           ,                               (8.16)

где  - «белый шум» (импульс, шок) с .

В моделях скользящего среднего для обеспечения стационарности ряда не требуется накладывать никаких ограничений на параметры . Однако, если в модели MA (1) параметр , то текущее значение  будет зависеть от своих прошлых значений берущихся с весами, бесконечно растущими по мере удаления в прошлое:

(8.17)

Чтобы избежать этого, надо, чтобы веса образовывали сходящийся ряд, т.е. .

Широко распространены в статистической практике модели скользящего среднего 1-го и 2-го порядка:

                                              MA (1):                                                (8.18)

                                        MA (2): .                                     (8.19)

Авторегрессионные модели со скользящими средними в остатках.

На практике в целях экономичного описания анализируемого процесса в модель могут быть включены как члены, описывающие Авторегрессионные составляющие, так и члены, моделирующие остаток в виде процесса скользящих средних. Такой процесс называется процессом авторегрессии скользящего среднего – ARMA (p,q):

(8.20)

или

(8.21)

Здесь единственное слагаемое ошибки  AR – процесса заменяется на процесс MA (q).

Такая модель может интерпретироваться как линейная модель множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка – скользящие средние из элементов белого шума.

Стационарность процесса ARMA обеспечивается условием , а обратимость, в свою очередь гарантируется выполнением условия .

Одним из наиболее важных этапов построения моделей стационарных временных рядов является определение ее порядка. Предварительная оценка производится на основе экономического анализа. Чрезмерное повышение порядка модели может и не повысить ее точность. Одновременно расчет большего числа коэффициентов модели при неизменной выборке снижает достоверность оценки каждого из коэффициентов. В то же время недостаточное число коэффициентов модели не позволяет отразить в должной мере динамику процесса и оценить его дальнейшие изменения.

Для определения порядка процесса модели исследуются такие характеристики, как автокорреляционная функция и частная автокорреляционная функция.

На практике, как правило, используют следующие виды моделей, идентифицировать которые можно с помощью анализа АКФ и ЧАКФ (табл. 1.5)[23].

Таблица 1.5

Свойства АКФ и ЧАКФ

Функция	ARMA (1,0)	ARMA (2,0)	ARMA (0,1)	ARMA (0,2)	ARMA (1,1)
АКФ	Экспоненциально затухает (монотонно или знакопеременно)	Экспоненциально затухает или имеет форму синусоидальной волны	Выброс (пик) на лаге 1	Выбросы (пики) на лагах 1,2	Экспоненциально затухает от значения  (монотонно или знакопеременно)
ЧАКФ	Выброс (пик) на лаге 1	Выбросы (пики) на лагах 1,2	Экспоненциально затухает (монотонно или знакопеременно)	Экспоненциально затухает или имеет форму синусоидальной волны	Экспоненциально затухает от значения  (монотонно или знакопеременно)

ARMА- процессы имеют более сложную структуру по сравнению со схожими по поведению AR- или MA- процессами в чистом виде, но при этом ARMA- процессы характеризуются меньшим количеством параметров, что является одним из их преимуществ.