Моделирование и прогнозирование временного ряда с помощью ARMA- и ARIMA- процессов __

7.1. Стационарные ВР и их основные характеристики.

7.2. Модели стационарных временных рядов.

7.3. Прогнозирование ARMA – процессов.

7.4. Методология Бокса – Дженкинса.

Стационарные временные ряды и их основные характеристики

Рассмотрим формальное определение стационарности.

Стохастический процесс  называется стационарным в сильном смысле (строго стационарным или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей всех переменных  точно то же самое, что и для переменных .

Под стационарным процессом в слабом смысле (в широком смысле) понимается стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение, а автоковариация зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными:

(8.1)

Из этого следует, что автокорреляция будет зависеть только от сдвига по времени  и не будет зависеть от .

При анализе изменения  в зависимости от временного сдвига  принято говорить об автоковариационной функции.

С понятием автоковариационной функции тесно связано понятие автокорреляционной функции (АКФ):

(8.2)

Значения АКФ также характеризуют тесноту статистической связи между уровнями временного ряда, разделенными  временными тактами. Однако, в отличие от значений автоковариационной функции они не зависят от масштаба измерения уровней временного ряда и подчиняются ограничению: .

Выборочная оценка коэффициента автокорреляции  может быть определена следующим образом:

(8.3)

где  - длина временного ряда;

 - временной сдвиг (лаг);

 - среднее значение временного ряда.

Числитель выражения представляет выборочную оценку коэффициента автоковариации.

В практических руководствах рекомендуется поддерживать соотношение .

Для стационарного временного ряда с увеличением  АКФ должна демонстрировать свойство монотонного убывания по абсолютной величине, т.к. взаимосвязь между уровнями ряда с ростом  ослабевает. Однако условие может нарушаться для выборочных АКФ[20].

Идея перенесения частной корреляции на временные ряды находит свое выражение в частной АКФ – ЧАКФ. С помощью ЧАКФ измеряется корреляция между уровнями ряда  и , разделенными  временными тактами, при исключении влияния на эту взаимосвязь всех промежуточных уровней ряда .

Например, коэффициент частной автокорреляции  при =2 будет определять корреляцию между уровнями временного ряда, разделенными двумя тактами времени, при условии, что значения промежуточных уровней зафиксированы на среднем уровне:

                                                   .                                         (8.4)

Формула для расчета выборочной оценки частного коэффициента автокорреляции:

                                                       .                                              (8.5)

Например,  1- го порядка между  и  при устранении влияния :

                                            ,                                   (8.6)

где  - коэффициент корреляции между  и

- коэффициент корреляции между  и

- коэффициент корреляции между  и .

В практической аналитической работе стационарность временного ярда означает отсутствие[21]:

· тренда;

· систематических изменений дисперсии;

· строго периодичных флуктуаций;

· систематически изменяющихся взаимосвязей между элементами временного ряда.