Модели стационарных временных рядов

Часто экономические показатели, представленные временными рядами, имеют настолько сложную структуру, что моделирование таких рядов путем построения моделей тренда, сезонности и применения традиционных подходов не приводит к удовлетворительным результатам. Во временных рядах остатков прослеживаются статистические зависимости, которые можно моделировать.

В последнее время большое внимание уделяется моделированию стационарных временных рядов, т.к. многие временные ряды могут быть приведены к стационарному виду после операции выделения тренда, фильтрации сезонной компоненты или взятия разности. Как правило, ряд остатков – это стационарный ряд. Наиболее распространенные модели стационарных рядов – модели авторегрессии и модели скользящего среднего.

Авторегрессионные модели.

В авторегрессии каждое значение ряда находится в линейной зависимости от предыдущих значений. Если анализируемый динамический процесс зависит от значений, отстоящих на p временных лагов назад, то авторегрессионный процесс порядка p, т.е. AR(p):

(8.7)

где  – «белый шум» с ;

 – свободный член (часто приравнивается к нулю (опускается)).

Используя функцию оператора лага, можно представить авторегрессионную модель в виде:

,

где  - оператор сдвига, т.е. преобразование ряда, смещающего его на один временной такт;

Ф( ) – оператор авторегрессии.

Для выполнения условия стационарности все корни многочлена Ф( ) должны лежать вне единичного круга, т.е. все корни характеристического уравнения  должны быть по модулю больше 1 и различны, т.е. . Если , процесс называется процессом единичного корня и является нестационарным.

Рассмотрим простейший вариант линейного авторегрессионного процесса – модель авторегрессии 1-го порядка – AR(1), или марковский процесс[22].

Эта модель может быть представлена в виде:

                                                ,                                         (8.8)

где  - числовой коэффициент, ,

 - последовательность случайных величин, образующих белый шум.

Основные свойства Марковского процесса:

;

                                                                   ;                                                         (8.9)

;

.

Значения частной автокорреляционной функции равны нулю для всех лагов , что может быть использовано при подборе модели. Этот результат для теоретической ЧАКФ и может не выполняться для выборочной АКФ. Однако, если выборочные частные корреляции статистически незначимо отличаются от нуля при , то использование модели AR(1) не противоречит исходным данным.

Условие стационарности ряда для AR(1) определяется требованием к коэффициенту : .

Из авторегрессионных процессов выше первого порядка в экономической практике часто встречаются так называемые процессы Юла. Они описываются с помощью модели AR(2):

(8.10)

Выражение для вычисления любого значения АКФ :

                                                 .                                     (8.11)

Подставим в данное выражение значение . С учетом того, что , а , получим:

(8.12)

Эта система называется системой Юла – Уокера для AR(2). Из нее можно получить выражения для определения параметров  и :

(8.13)

                                                           .                                               (8.14)

Условия стационарности процесса AR(2):

(8.15)

ЧАКФ для процесса AR(p) будет иметь ненулевые значения лишь при , а начиная с лага  теоретическая ЧАКФ равна нулю. Это свойство становится ключевым при подборе порядка p авторегрессионной модели для конкретных экономических временных рядов.