Методология Бокса – Дженкинса

Экономические временные ряды за редким исключением нестационарны. Нестационарность чаще всего проявляется в наличии зависящей от времени неслучайной составляющей f(t). Для описания таких рядов используется модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего ARIMA (p,d,q) (модель Бокса-Дженкинса).

Модель ARIMA используется для описания временных рядов, обладающих свойствами:

1. ряд включает аддитивно составляющую f(t), имеющую вид алгебраического полинома;

2. ряд, получившийся после применения к нему процедур последовательных разностей, может быть описан моделью ARMA (p,q).

Пусть  - нестационарный процесс со стационарными разностями d - го порядка, т.е.  - стационарный процесс, а  - нестационарный. Это означает, что  интегрируем d - го порядка.

Если  - процесс ARMA (p,q), т.е.

                ,      (8.28)

тогда  называется процессом ARIMA (p,d,q). Часто среднее или свободный член приравнивается к нулю (опускается)[24].

Построение модели ARIMA по реализации случайного процесса Бокс и Дженкинс предложили разбить на несколько этапов:

1. Устанавливается порядок интеграции d, т.е. добиться стационарности ряда, взяв достаточное количество последовательных разностей. Для определения значения d может быть применен эвристический критерий. Использование данного критерия основано определении оценки

                                           ,                                  (8.29)

где  - последовательные разности исходного ряда ,

k – порядок разностей, k = 1,2,…

Начиная с некоторого значения  величина  стабилизируется, оставаясь примерно на одном и том же уровне при росте k. Тогда порядок разности  следует принять равным .

Также о том, что необходимая для стационарности ряда степень разности достигнут, будет свидетельствовать быстрое затухании АКФ.

2. Для полученного стационарного временного ряда строятся АКФ и ЧАКФ. Исследуя характер их поведения, выдвигаются гипотезы о значениях параметров p и q, т.е. подбирается модель ARMA(p,q). На данном этапе формируется базовый набор моделей, включающий 1,2 или даже больше количество моделей.

3. Для всех моделей, отобранных на 2 этапе оцениваются коэффициенты , используя следующие методы:

· традиционный МНК;

· метод максимального правдоподобия;

· нелинейный МНК;

· алгоритм Марквардта.

Все эти оценки при больших объемах выборок асимптотически эквивалентны.

4. Выбирается наиболее подходящая модель среди оцененных:

а) проверяется адекватность модели на основе анализа остатков (у адекватной модели остатки должны быть похожи на белый шум). Для этого проводится проверка значимости коэффициентов автокорреляции используя следующие подходы:

· если выборочный коэффициент автокорреляции  выходит за интервал , то гипотеза  о равенстве нулю коэффициента автокорреляции  отвергается;

· проверяется равенства нулю сразу  первых значений АКФ на основе Q – статистики Бокса – Пирса:

(8.30)

или тест Бокса – Льюнга:

                                                 .                                   (8.31)

Если  с степенями свободы, то как группа первые  коэффициентов автокорреляции значимы (рекомендуется рассматривать );

б) отбирается оптимальная модель по наивысшему качеству с меньшим числом параметров с использованием информационного критерия Акайка и Шварца:

· информационный критерий Акайка

                                              ;                                  (8.32)

· критерий Шварца:

                                (8.33)

Предпочтение следует отдать модели с меньшим значением критерия.

Прогнозирование ARIMA – процессов  может быть представлено в виде двухшаговой процедуры:

1) экстраполируется стационарный ARMA – процесс;

2) Вместо взятия разностей провести обратную операцию интегрируемости, т.е. суммирования спрогнозированных на шаге 1 приращений , чтобы получить сначала , а затем по аналогии  и, наконец, . Оценка дисперсии ошибки прогноза, а следовательно, и ширины доверительного интервала прогноза проводится аналогичным образом – повторным суммированием дисперсий ошибок прогноза ARMA-процесса .

Другим возможным вариантом является построение индивидуальной одношаговой формулы для получения прогноза.

С этой целью в уравнение вместо  подставляют разности

                                                  .                                       (8.34)      

Решив полученное уравнение относительно , получим формулу которая может быть экстраполирована для  и таким образом преобразована в формулу для прогнозирования на  шагов вперед величин  с началом отсчета в момент времени Т.

Вопросы для самоконтроля:

1Что такое стационарные временные ряды в широком и узком смысле?

2Какие существуют классы моделей для прогнозирования стационарных временных рядов?

3Как проводится идентификация AR(p) моделей с помощью анализа автокорреляционной и частной автокорреляционной функций?

4Как проводится идентификация MA(q) моделей с помощью анализа автокорреляционной и частной автокорреляционной функций?

5Назовите основные этапы построения модели ARIMA.

6Какие критерии применяются при окончательном выборе модели ARIMA?

Глава 8

___________________________________________________________________