Исследование периодических колебаний методами спектрального анализа

При наличии периодических колебаний в ряду динамики модель прогноза должна учитывать эти колебания. С этой целью может быть использован ряд Фурье.

Уровни временного ряда варьируют вокруг среднего значения ( ), при этом эти колебания (волны) повторяются, т.е. перед нами периодический временной ряд. Интервал времени, необходимый для того, чтобы временной ряд начал повторяться, называется периодом ( ).

Величина, обратная периоду, называется частотой ( ).

(6.18)

Она указывает число повторений цикла в единицу времени.

Отклонения от среднего уровня до пика (или впадины) называется амплитудой временного ряда ( ).

Расстояние между началом отсчета времени (точкой, в которой ) и ближайшим пиковым значением называется фазой ( ).

Стационарный периодический ВР, можно задать четырьмя параметрами: периодом или частотой, амплитудой, фазой и средним значением:

                                         ,                                (6.19)

которая называется гармоническим представлением.

(омега) – угловая частота, измеряемая в радианах в единицу времени и равна:

                                               .                                      (6.20)

Данное выражение часто записывают через синусы и косинусы без упоминания о фазе:

                                        ,                              (6.21)

где , ,

так как  то .

Кроме того, т.к. , то  или .

Теоретически любой стационарный временной ряд может быть представлен как сумма среднего значения и ряда синусоид и косинусоид, что и называется рядом Фурье:

(6.22)

Так как реальный ряд динамики имеет конечную длину N, то ряд Фурье приобретает вид:

(6.23)

где  ( - длина временного ряда).

При этом  заменяется параметром ,т.е. в окончательном виде имеем:

(6.24)

Оценка параметров данного уравнения при компьютерной обработке обычно дается традиционным МНК. Рассмотрим систему нормальных уравнений для случая одной гармоники:

                                              ,                                    (6.25)

где t принимает значения от 0 с постоянным увеличением на .

Система нормальных уравнений:

(6.26)

Так как .

Соответственно из 1-го уравнения получаем, что

(6.27)

из второго уравнения:

(6.28)

из третьего уравнения:

(6.29)

Так как , то  соответственно и . Следовательно,  и . При определении второй гармоники рассчитываются  и :

                                     ; .                            (6.30)

Иными словами, параметры ряда Фурье определяется следующим образом:

                                     и                           (6.31)

Часто хорошее описание фактического временного ряда достигается с использованием двух гармоник[17]:

(6.32)