Прогнозирование с помощью тренд – сезонных моделей

По временным рядам за лет в помесячном или поквартальном разрезе могут наблюдаться сезонные колебания.

Сезонные колебания – это разновидность периодических колебаний. Для них характерны внутригодичные, повторяющиеся устойчиво из месяца в месяц (из квартала в квартал) изменения в уровнях, т.е. это регулярно повторяющиеся подъемы и снижение уровней ВР внутри года на протяжении ряда лет.

Существует две модели сезонности: аддитивная и мультипликативная.

В аддитивной модели сезонность выражается в виде абсолютной величины, которая добавляется или вычитается из среднего значения ряда, чтобы выделить показатель сезонности.

В мультипликативной модели сезонность выражена как процент от среднего уровня, который должен быть учтен при прогнозировании путем умножения на него среднего значения ряда.

Методика построения аддитивной и мультипликативной модели различается в зависимости от того, есть или нет тенденций в ряду динамики[16].

Если во ВР отсутствует тенденция, то уровень ряда рассматривается как функция сезонности и случайности (рис. 1.5):

(6.1)

где  - фактические уровни ВР

S – сезонная составляющая

 - случайная компонента

Рис. 1.5. Стационарный временной ряд с сезонными колебаниями

При аддитивной модели уровень такого ряда можно представить как:

(6.2)

Тогда:

где  - средний уровень ряда соответствующего периода внутри года (месяца, квартала) за ряд лет.

Величина  отражает влияние сезонности (сезонная составляющая S), а величина  характеризует влияние случайной компоненты.

При мультипликативной модели уровень динамического ряда можно представить как произведение его составляющих:

                                                                                              (6.3)

где отношение  представляет собой коэффициент сезонности ( ), а  - отражает влияние случайного фактора.

Чем больше коэффициент сезонности, тем больше амплитуда колебаний уровней ряда относительно его среднего уровня, тем существеннее влияние сезонности. Чем меньше влияние случайной составляющей, тем в большей мере рассматриваемая модель адекватно описывает исходный временной ряд.

Прогнозирование динамического ряда с сезонными колебаниями при отсутствии в нем тенденции сводится к прогнозированию среднего уровня  с последующей корректировкой его на сезонную компоненту:

                                – аддитивная модель;                 (6.4)

                         – мультипликативная модель.                (6.5)

Значительно распространена ситуация, когда динамический ряд имеет тенденцию.

В этом случае уровень временного ряда рассматривается как функция тенденции (t), сезонности (S), и случайности . Тогда аддитивная модель уровня динамического ряда примет вид:

(6.6)

где  - теоретическое значение уровня ряда согласно тенденции;

S – сезонная составляющая;

 - случайная компонента.

Общая колеблемость уровней ВР раскладывается на 3 составляющие:

                                    ,                             (6.7)

где  - тренд с учетом сезонности.

 - общая вариация;

 - влияние тенденции;

 - влияние сезонности;

 - влияние случайности.

Алгоритм построения тренд – сезонной аддитивной модели:

1. Проводят сглаживание временного ряда с помощью простой скользящей средней. Период скольжения должен быть равен 1 году (если период четный, то проводится центрирование скользящей средней);

2.Рассчитывают абсолютные показатели сезонности:

(6.8)

где  - выровненные скользящие средние;

3.Рассчитывают средние показатели сезонности для одноименных кварталов (месяцев):

                                                 .                                          (6.9)

4.Если , проводится корректировка сезонной компоненты:

                                               .                                     (6.10)

5.Проводят десезоналирование временного ряда: из исходных уровней вычитаем скорректированную сезонную компоненту:

                                                     .                                            (6.11)

6.По десезоналированному временному ряду проводим аналитическое выравнивание.

7.рассчитываем тренд с учетом сезонности:

                                                  .                                        (6.12)

При мультипликативной модели уровень ВР можно представить в виде сомножителей:

(6.13)

где  - коэффициент сезонности

E – коэффициент влияния случайности .

Алгоритм построения тренд – сезонной мультипликативной модели:

1.Сглаживание ВР с помощью скользящей средней

2.Рассчитываем коэффициент сезонности

                                                       =                                              (6.14)

3.Определяем средние показатели сезонности для одноименных кварталов (месяцев):

4.Если при поквартальном наблюдении , а при помесячном , то выполняется корректировка коэффициента сезонности:

(6.15)

5.Исключаем сезонность из уровней ряда:

(6.16)

6.Проводится аналитическое выравнивание десезоналированного ряда;

7.Рассчитываются уровни временного ряда, обусловленные влиянием тенденции и сезонности:

                                                    .                                          (6.17)

Аддитивная модель целесообразна, если размах сезонных колебаний изменяется слабо.