Доверительные границы тренда

Если уравнение тренда рассматривается как выборочное, имеющее ошибки репрезентативности своих параметров, то можно рассчитать доверительные границы, внутри которых с заданной, достаточно большой вероятностью, проходит линия тренда в генеральной совокупности. Рассмотрим эту проблему на примере простейшего, линейного тренда. Оба его параметра, свободный член  и среднее изменение за единицу времени  имеют ошибки репрезентативности выборочных оценок. Свободный член уравнения тренда - это выборочная средняя величина уровней временного ряда, средняя ошибка репрезентативности которой

(5.13)

Средняя ошибка репрезентативности параметра , как уже сказано, равна:

(5.14)

Свободный член уравнения линейного тренда и среднее изменение за единицу времени – величины независимые, а, следовательно, по теореме сложения дисперсий независимых величин, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых, а среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка) – корню квадратному из суммы дисперсий, то есть из суммы квадратов ошибок  и . Однако, мы рассматриваем ошибку не в статике, а в динамике. Средняя ошибка положения линии тренда за счет ошибки свободного члена – это константа для любой точки линии тренда, а средняя ошибка изменения уровня тренда за счет ошибки параметра  – это величина переменная, ибо в разных точках линии тренда его уровень равен , и ошибка параметра  возрастет в  раз по сравнению с ошибкой в точке, где . Иначе говоря, ошибка линии тренда минимальна в середине базы его расчета – в середине временного ряда. В этой точке, где , средняя ошибка положения линии тренда равна ошибке его свободного члена, т.е. , а в любой иной точке тренда его средняя ошибка вычисляется по формуле:

(5.15)

при  в середине ряда. При нумерации периодов времени от начала ряда вместо  в формулу следует подставить величину .

Таким образом, ошибка тренда возрастает от середины базы его расчета (середина ряда) к его краям, образуя конусообразную зону вероятных значений генерального тренда (рис. 1.4)

Рис. 1.4. Доверительные границы генерального тренда

Чем сильнее колеблемость уровней и чем меньше база расчета тренда, тем шире доверительная зона генерального тренда, и тем быстрее она расширяется от середины ряда к его концам. Зона для параболического тренда расширятся при этом гораздо сильнее, чем для линейного тренда[14].