Экспоненциальный тренд и его свойства

Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением: или в форме . Свободный член экспоненты  равен выравненному уровню, т.е. уровню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, то есть при . Основной параметр экспоненциального тренда  является постоянным темпом изменения уровней (цепным). Если > , имеем тренд с возрастающими уровнями, причем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высоких порядков. Если < , то имеем тренд, выражающий тенденцию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экспонента не имеет, и при  стремиться либо к  при > , либо к 0 при < .

Экспоненциальный тренд характерен для процессов, развивающихся в среде, не создающей никаких ограничений для роста уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпаемы. Экспоненциальный рост объема реализации и производства происходит при возникновении новых видов продукции и их освоения промышленностью: при появлении цветных телевизоров, видеомагнитофонов, "пейджеров" и т.п., но когда производство начинает наполнять рынок, приближаться к спросу, экспоненциальный рост прекращается.

Основные свойства экспоненциального тренда:

1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональны самим уровням.

2. Экспонента экстремумов не имеет: при >  тренд стремится к , при <  тренд стремится к нулю.

3. Уровни тренда представляют собой геометрическую прогрессию: уровень периода с №  есть × k^m.

4. При >  тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при <  тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней.

Вопросы для самоконтроля:

1Охарактеризуйте основные типы кривых роста, наиболее часто используемые на практике при построении трендовых моделей.

2Расскажите о свойствах прямолинейного тренда.

3Назовите основные свойства параболы 2-го порядка.

4Перечислите основные свойства экспоненциального тренда.

Глава 4

_________________________________________________________________

Методика изучения и показатели колеблемости _________________________________________________________________

4.1. Пилообразная колеблемость.

4.2. Долгопериодическая циклическая колеблемость.

4.3. Случайно распределенная во времени колеблемость.

4.4. Показатели абсолютной величины (силы) колебаний.

4.5. Показатели относительной интенсивности колебаний.

4.6. Оценка надежности параметров тренда.

4.7. Доверительные границы тренда.

4.8. Вероятностная оценка показателей колеблемости.

Пилообразная колеблемость

Характерной чертой этого типа колеблемости является правильное, регулярное чередование отклонений от тренда «вверх» и «вниз», т.е. положительных по знаку и отрицательных через одно. Поскольку это похоже на колебание маятника часов вправо-влево, данный тип колеблемости называют также «маятниковой колеблемостью». Название же «пилообразная» происходит от вида графика, похожего на зубья пилы (хотя величина «зубьев», разумеется, не должна быть, как у хорошей пилы, одинаковой). Представим пилообразную колеблемость на рис. 1.1.

Свойства пилообразной колеблемости: ввиду частой смены знака отклонения от тренда, не происходит аккумуляции ни положительных, ни отрицательных отклонений. Следовательно, нет необходимости создавать для их компенсации значительный страховой запас. Регулярность чередования отклонений дает возможность надежного их прогнозирования.

Распознать наличие, как элемента, пилообразных колебаний во временном ряду можно:

1) по виду графика;

2) подсчетом числа «локальных экстремумов» в ряду отклонений от тренда: чем это число ближе к числу уровней ряда, тем большую роль играют пилообразные колебания в их общем комплексе;

3) по знаку и величине коэффициента автокорреляции
отклонений от тренда I порядка, т.е. со сдвигом (лагом) на 1 год.

Рис. 1.1 Пилообразная колеблемость