Применение моделей кривых роста для анализа и прогнозирования основной тенденции развития

При наличии тенденции в ряду динамики его уровни можно рассматривать как функцию времени (кривые роста). Кривые роста условно разделяют на 3 класса:

1. включает функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста (класс полиномов, экспоненциальная (показательная) кривая, логарифмическая парабола);

2. относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде (кривые насыщения) – потребление каких либо продуктов, расход удобрений на единицу площади (модифицированная экспонента, гиперболические кривые);

3. включает кривые насыщения, имеющие точку перегиба (S- образные кривые). Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса: один с ускорением развития, другой – с замедлением. Применяют в демографических исследованиях, страховых расчетах, определении спроса на новый вид продукции (кривая Гомперца, логистическая кривая).

Существует несколько практических подходов, облегчающих процесс выбора формы кривой роста.

Наиболее простой путь – визуальный, опирающийся на графическое изображение временного ряда. Если на графике исходного ряда тенденция развития не четко просматривается, то можно преобразовать ряд (например, сгладить).

Для выбора степени полинома применяют метод последовательных разностей, который предполагает вычисление первых, вторых и т.д. разностей уровней ряда:  и т.д. Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома.

Однако чаще всего на практике форму кривой выбирают по наименьшей сумме квадратов отклонений фактических уровней от расчетных. Используя этот подход, следует иметь, что к ряду, состоящему из m точек можно подобрать многочлен степени (m-1), проходящей через все m точек, однако, такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для прогнозирования. Иногда в качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка

                                             ,                                   (2.11)

где n-длина ряда;

k- число оцениваемых коэффициентов в модели.

Использование этого подхода проходит в два этапа: на первом происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа задачи, на втором - осуществляется расчет критерия и выбор по нему функции.

В заключение отметим, что нет «жестких» рекомендаций для выбора кривых роста.