Проверка гипотезы о существовании тренда

Прежде чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе. Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез о случайности ряда: .

Рассмотрим один из самых простых методов, позволяющий обнаружить тренд в значении средней и дисперсии уровней. Метод разработан Ф. Фостером и А. Стюартом[4], которые предложили по данным исследуемого ряда определять величины  и . Значения  и  находятся путем последовательного сравнения уровней. Если какой-нибудь уровень ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней, то величине  присваивается значение 1, в остальных случаях 0. Таким образом,

(2.1)

Наоборот, если уровень меньше всех предыдущих, то  присваивается значение 1. Таким образом,

(2.2)

После того как  и  найдены, легко определить две простые характеристики  и :

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Суммирование в формулах (1.24) и (1.25) производится по всем членам ряда. Нетрудно найти, что  принимает значения 0 и 1:  в случае, если  не является ни наибольшим, ни наименьшим уровнем всех предшествующих уровней, в противном случае . Легко определить, что  может находиться в пределах . (Здесь, как и выше,  означает число членов ряда). Если все уровни равны (нулевая дисперсия), то , если же они монотонно растут, или падают, или колебания их чередуются, систематически увеличиваясь или падая, то .

В свою очередь величина  принимает значения 0; 1 и -1. Найдем теперь пределы для : нижний предел равен , верхний составляет . Нижний предел соответствует монотонно убывающему, а верхний – монотонно растущему ряду. Авторы данных характеристик не рассматривают условий, когда значение  

равно 0. Между тем именно здесь и кроется известная слабость рассматриваемого метода. В самом деле, если все уровни равны, то . Кроме того,  и тогда, когда . Что касается первой ситуации, то она соответствует полному отсутствию тренда. Вторая же может наблюдаться и тогда, когда ряд охватывает два периода с противоположными тенденциями. Кроме того,  и в случае, когда подъемы и падения уровней чередуются. Если уровни симметрично располагаются вокруг горизонтальной линии, то величина , действительно, соответствует отсутствию тренда в средней. Однако при определении  не принимаются во внимание величины отклонений от горизонтальной линии. Поэтому мыслима такая ситуация, при которой отклонения с одним знаком будут систематически выше отклонений с другим знаком. В этом случае тенденция средней к росту (падению) не отразится на величине . В чистом виде такое расположение уровней будет встречаться в практике крайне редко, но надо иметь в виду, что все же оно возможно[5].

Показатели  и  асимптотически нормальны и имеют независимые распределения. Они существенно зависят от порядка расположения уровней во времени. Показатель  применяется для обнаруживания тенденций изменения дисперсии,  – для обнаруживания тенденций в средней. После того как для исследования ряда найдены фактические значения  и , проверяется гипотеза о том, можно ли считать случайными разности  и . Гипотезы можно проверить, применяя t-критерий Стьюдента, т.е.

(2.7)

(2.8)

где  – математическое ожидание величины , определенное для случайного расположения уровней во времени;

 – средняя квадратическая ошибка величины ;

 – средняя квадратическая ошибка величины .

Необходимые для такой проверки средние квадратические ошибки равны[6]:

(2.9)

                                         .                                (2.10)

Значения ,  и  табулированы.

Таблица 2.1

Значение средней  и стандартных ошибок ,  для  от 10 до 100[7]