Параболический тренд и его свойства

Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой 2-го порядка с уравнением: . Парабола 3-го и более высоких порядков редко применимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограниченной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения математики, можно также считать видом парабол – параболой 1-го порядка, которая уже рассмотрена ранее.

Значения (смысл, сущность) параметров параболы 2-го порядка таковы:

свободный член  – это средний (выравненный) уровень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. .

 – это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется равномерно со средним ускорением, равным 2 , которое и служит константой, главным параметром параболы 2-го порядка.

Следовательно, тренд в форме параболы 2-го порядка применяется для отображения таких тенденций динамики, которым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней (рост населения отдельных городов или регионов, ускоренное увеличение объема продукции в фазе циклического подъема, динамика экспорта).

Основные свойства тренда в форме параболы 2-го порядка таковы:

1. Неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки времени.

2. Парабола, рассматриваемая с точки зрения ее математической формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака, и нисходящую с их уменьшением. Но с точки зрения статистики, по содержанию изучаемого процесса изменений, трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей: либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более редких конкретных ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд.

3. Так как свободный член уравнения , как значение показателя в начальный момент (период) отсчета времени, как правило величина положительная, то характер тренда, тенденции, определяется знаками параметров  и :

а) При >  и >  имеем восходящую ветвь, то есть тенденцию к ускоренному росту уровней;

б) При <  и <  имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней;

в) При >  и <  имеем либо восходящую ветвь с замедляющимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым процессом.

г) При <  и >  имеем либо нисходящую ветвь с замедляющимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией.

4. При параболической форме тренда, в зависимости от соотношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде времени рано или поздно темпы роста всегда обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при <  и <  обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).