Закон совместного распределения выборочных значений

1. Все множество объектов, из которого производится их случайный равновероятный отбор, или, в терминах случайной величины, множество всех ее возможных значений, называется генеральной совокупностью. Группа из конечного числа объектов, охваченных обследованием, называется случайной выборкой, или просто - выборкой, а их количество - объемом выборки. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно точно повторяет пропорции генеральной совокупности. В вероятностной интерпретации набор выборочных значений  представляет собой  «экземпляров» одной и той же СВ X, т.е. последовательность значений СВ X, полученных в результате  независимых в совокупности испытаний. Именно это априорное умопостроение, кажущееся с одной стороны несколько искусственным, а с другой стороны почти очевидным, позволяет применять к выборочным значениям аппарат теории вероятностей. При этом следует заметить, что полная и замкнутая теория выборочных распределений построена только для выборок из нормальных совокупностей. В связи с этим в дальнейшем изложении все рассматриваемые совокупности будут априорно полагаться нормальными (если не оговорено обратное). Интерпретация выборки как последовательности независимых реализаций одной и той же СВ позволяет однозначно установить связь между законом совместного распределения выборочных значений и законом распределения исследуемой СВ X:

.  (1.3.1)

В случае непрерывной СВ аналогичное соотношение справедливо и для плотности совместного распределения:

.      (1.3.2)

При этом, поскольку все выборочные значения равновероятны с веро­ятностью , выборочное среднее, определяемое как среднее арифметическое , представляет собой СВ  (n - кратную композицию величины  с самой собой). Плотность распределения выборочного среднего можно получить, восполь­зовавшись тем, что СВ имеет ПР, представляющую собой - кратную свертку плотности распре­деления СВ X:

.                         (1.3.3)

Так как величины и  связаны линейным соотношением, то на основании правила линейного преобразования  (п. 1.1.) получим

                                                                            .                            (1.3.4)

2. Чтобы прояснить смысл соотношений (1.3.3), (1.3.4), рассмотрим следующий пример. Пусть X — стандартная нормальная СВ . Выборка объемом  представляет собой две не­зависимых СВ  с плотностью совместного распределения .

Свертка (1.3.3) дает следующий результат:

. Совершив второе преобразование путем деления на 2, находим .

Выборочное среднее в данном случае имеет нормальное распределение с параметрами . С увеличением объема выборки из  СКО выборочного среднего уменьшается по закону . При распределениях, отличных от нормаль­ного, выборочное среднее, представляющее собой композицию нескольких СВ с одним законом распределения, достаточно быстро нормализуется с увеличением объема выборки. Этот факт, являющийся следствием центральной предельной теоремы, был проиллюстрирован в п.1.2

Математическая статистика решает как бы «обратную задачу» теории вероятностей. То есть, если при классическом определении случайного события и вероятности по известным характеристикам генеральной совокупности вычислялись вероятности выборочных значений (результатов независимых испытаний), то в практических приложениях, наоборот, по имеющимся в распоряжении «наблюденным» выборочным значениям оцениваются неизвестные числовые характеристики и законы распределения генеральной совокупности.