Модель функционирования измерительной системы

1. Пусть  – истинное значение измеряемого параметра объекта (единицы продукции), случайного выбранного из некоторой со-вокупности, или истинное значение аналогового сигнала (напряжение, давление, температура и т.д.), поступающего на вход измерительного устройства. Результат измерения , вообще говоря, будет представлять собой случайную величину, отличную от  из-за наличия погрешностей. Модель функционирования будем строить в соответствии с общей схемой для двух случайных величин, находящихся в стохастической связи. Погрешность измерения будет иметь плотность распределения, соответствующую априорному условному распределению:

.                   (3.4.1)

Априорное безусловное распределение (входного сигнала) будем полагать известным – f_X(x).

Тогда ПР совместного распределения согласно п.1.3 будет иметь вид

                  (3.4.2)

Закон распределения Y и ПР апостериорного условного распределения будут равны соответственно:

,                          (3.4.3)

.                             (3.4.4)

В качестве первого варианта модели рассмотрим нормальный закон распределения случайной ошибки. Положим, что погрешность имеет только случайную составляющую (систематическая устранена метрологическими приемами). Тогда плотность распределения (3.4.1) будет иметь вид

,                    (3.4.5)

где s_Y - СКО случайной погрешности. Пусть входной сигнал Х так- же имеет нормальное распределение:

,                        (3.4.6)

где s_X – СКО входного сигнала. Среднее значение без ограничения общности принято за начало отсчета. Введем в рассмотрение отношение  и переобозначим  . В новых обозначениях ПР (3.4.2) примет вид

.      (3.4.7)

Подставляя (3.4.7) в (3.4.3), (3.4.4), после элементарных преобразований получим:

,          (3.4.8)

.      (3.4.9)

Как видно из последних выражений, результат измерения  представляет собой сумму независимых между собой истинного  значения Х и погрешности Z=Y–X. Апостериорное условное распределение (3.4.9) также имеет нормальный вид с СКО  .

Однако более интересным результатом является то, что линия регрессии  не совпадает с прямой         (рис. 3.4.1). Имеет место отрицательное смещение, линейно зависящее от  :

.                (3.4.10)

Рис. 3.4.1. Линия регрессии и 6- сигмовая полоса измеряемого

сигнала при v=0,3 в сравнении с идеальной линией x=y

Таким образом, главный вывод состоит в том, что случайная компонента погрешности индуцирует систематическую составляющую погрешности. Эта составляющая («ножницы» между регрессией  и главной биссектрисой, соответствующей идеальным измерениям) приводит к тому, что результат измерения Y завышает истинное значение Х и эта разница возрастает пропорционально удалению от центра рассеяния входного сигнала. Другой, парадоксальный на первый взгляд, вывод состоит в том, что коэффициент корреляции  убывает до нуля по мере уменьшения среднеквадратичного отклонения случайной погрешности. Это является следствием того, что вместе с уменьшением рассеяния отклонения  убывает и ковариация .

2. В качестве другой модели случайной погрешности рассмотрим ошибку отсчета – округление показаний при считывании с градуированной шкалы измерительного прибора с ценой деления . В этом случае (3.4.1) будет иметь вид:

                  (3.4.11)

Приняв распределение входного сигнала в том же виде (3.4.6) и проделав аналогичную предыдущему случаю цепочку вычислений, получим

             (3.4.12)

      (3.4.13)

   (3.4.14)

В данном случае регрессия будет иметь вид

(3.4.15)

Нормируя все величины на  и обозначив , приведем (3.4.15) к виду

.                     (3.4.16)

Вид зависимости (3.4.16) показан на рис.3.4.2.

Рис. 3.4.2. Регрессия точного значения на показания

измерения при наличии ошибки отсчета h=0,1s; s