Глава 1. Теоретические основы статистического моделирования случайных процессов

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

САМАРА

Издательство СГАУ

2008

УДК 519.21

ББК 22.171

Рецензенты:   д-р физ.-мат. наук, проф. А. Ф. Крутов

д-р техн. наук, проф. В. Д. Юшин

Плотников А. Н.

П 396Статистическое моделирование и системный анализ технологических процессов: учеб. пособие / А. Н. Плотников. – Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2008. – 155с.

ISBN 978 – 5 –7883 –0678 –2

Содержит краткое изложение вероятностных основ статистических методов в контексте их практического использования при анализе качества и надежности продукции машиностроительного производства. В главе1 излагаются общие вероятностные основы и рассмотрены наиболее употребительные выборочные статистики нормальных совокупностей, в том числе порядковые статистики. Основная часть посвящена системам случайных величин и типам их взаимодействий. В главе 2 даны основы дисперсионного анализа и теории планирования эксперимента. В главах 3-5 рассмотрены модели функционирования контрольных , измерительных процессов, основы теории массового обслуживания и схемы статистического регулирования технологических процессов. В качестве иллюстраций приведены примеры статистических экспериментов по методу Монте–Карло, реализованные в пакете Mathcad-2001, которые могут быть использованы для аудиторного и самостоятельного лабораторного практикума по различным приложениям теории вероятностей.

Пособие предназначено для студентов специальностей «Стандартизация и сертификация» и «Управление качеством», а также других специальностей.

        УДК 519.21

       ББК 22.171

ISBN 978 – 5 –7883 –0678 –2

                                                          © Плотников А. Н.

                                                          © Самарский государственный

                                                          аэрокосмический университет, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение..................................................................................................5

Глава 1. Теоретические основы статистического моделирования

          случайных процессов............................................................. 10

1.1. Преобразования случайных величин и сущность

   метода Монте‑Карло...........................................................10

1.2. Системы случайных величин..............................................13

1.3. Закон совместного распределения выборочных

  значений................................................................................27

1.4. Выборочные оценки параметров распределения..............30

Глава 2. Основы теории планирования эксперимента.......................44

2.1.Факторы эксперимента. Понятие об эффекте фактора….44

2.2. Аппарат дисперсионного анализа......................................48

2.3.Планы со смешиванием эффектови дробные

  многофакторные планы.......................................................58

2.4.Планы эксперимента для исследования

поверхности отклика……………………………………….69

Глава 3. Системный анализ контрольных и измерительных

          процессов..................................................................................81

3.1. Модель функционирования системы контроля.................81

3.2. Принцип накопления и анализа информации. Оценка

  эффективности контроля.....................................................87

3.3. Сущность процесса измерения и основные элементы

  измерительной системы.......................................................92

3.4. Модель функционирования измерительной системы.......95

3.5. Модель функционирования измерительной системы

  при приемке по допуску.....................................................100

Глава 4. Основы теории надежности технологических

          и информационных систем...................................................102

4.1. Потоки случайных событий и их свойства......................102

4.2. Парадокс инспекции и смежные вопросы........................109

4.3. Очереди и задачи обслуживания.......................................112

4.4. Статистическая оценка параметра показательного

  закона...................................................................................122

Глава 5. Статистическое моделирование случайных процессов......125

5.1. Модели процессов с непрерывным приращением..........125

5.2. Анализ схем статистического регулирования ................129

5.3. Выборочные оценки числовых индексов воспроиз-

  водимости............................................................................138

Список литературы...............................................................................144

Приложения...........................................................................................145

Приложение I. Алгоритмы Монте-Карло, эксперементаль-

ные и расчетные значения инвариантов структуры серий

в последовательной выборке……………………………..…145

Приложение II. Таблица распределения Кохрэна.................151

Приложение III. Таблица распределения выборочного

      размаха................................................................................…..153

Введение

1. Исходным понятием теории вероятностей является случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при воспроизводимой совокупности условий опыта (испытания, наблюдения). Например, появление орла при бросании монеты, выпадение 11 очков при бросании двух игральных костей, попадание в поле допуска размера очередной детали с автоматической производственной линии, существенное улучшение состояния у группы больных после лечения определенным препаратом и т.д. Из перечисленных примеров видно, что каждое событие обладает некоторой степенью возможности. В примере с монетой и игральными костями сразу можно решить, что выпадение орла более возможно, чем выпадение 11 очков при бросании двух игральных костей, а для анализа стабильности технологического процесса или действия лекарственного препарата необходимо иметь фактические результаты наблюдений. С понятием случайного события связано другое фундаментальное понятие теории вероятностей – понятие случайной величины (СВ). Под случайной величиной понимается величина, которая в опыте с несколькими возможными исходами может принимать то или иное значение. Например, число очков при бросании игральной кости, частота появления «орла» в серии повторных опытов с монетой, фактическое количественное значение параметра при контроле и испытаниях промышленной продукции, очередной результат в серии повторных измерений и т.д. Законом распределения случайной величины называется любое правило (функция), позволяющее однозначно определить вероятности возможных значений случайной величины. Наиболее просто обстоит дело, когда множество возможных значений случайной величины конечно либо счетно и может быть отождествлено с пространством событий. Например, появление любого из чисел от «1» до «6» при бросании игральной кости равновероятно с вероятностью ; множество возможных значений частоты появления «орла» при трех бросаниях монеты составляет  с вероятностями  .

Очень важную роль при анализе CB играют ее числовые характеристики, позволяющие определить ее положение на числовой оси, величину рассеивания – степень случайности и форму рассеяния. Важнейшей числовой характеристикой CB является ее среднее значение или математическое ожидание, определяемой как .

Если под  понимать дискретное распределение единичной массы на тонком невесомом стержне, то среднее значение можно интерпретировать как  – координату центра масс такой системы. Рассеивание CB около своего среднего значения характеризуется дисперсией  .

В механической интерпретации  есть момент инерции стержня переменной плотности относительно перпендикулярной оси, проходящей через точку . Для большей наглядности рассеивание CB характеризуют стандартным или средним квадратичным отклонением (СКО) , которое имеет такую же размерность, что и сама CB. Для более детального описания CB используют также асимметрию  и эксцесс . Для симметричного относительно  плотности распределения , , если распределение быстрее стремится к нулю слева от , и  – если справа. Эксцесс характеризует рассеивание CB около среднего значения по сравнению с нормальной CB, у которой E_x=0. Из определения M[X] и D[X] вытекают их следующие свойства:

– среднее значение неслучайной величины а равно ей самой, ;

– для любой пары CB Х и Y и неслучайных чисел a и b ;

– дисперсия неслучайной величины a равна нулю, ;

–для любой пары независимых CB  и  и неслучайных чисел  и .

2.Наиболее употребительными являются следующие виды дискретных CB. Гипергеометрическое распределение в наглядной интерпретации представляет собой распределение числа черных шаров в случайной выборке или без возвращения из корзины (числа дефектных единиц при выборочном контроле партии штучной продукции). Это распределение совпадает с законом «Спорт-лото» где N – объем партии, D – число дефектных единиц, n – объем выборки[1]. Среднее и дисперсия гипергеометрического распределения равны:

Биномиальное распределение. Рассмотрим асимптотику при <<1. Разлагая биноминальные коэффициенты через факториалы, получим .

После группировки сомножителей и выделения , будем иметь . Попарно сокращая факториалы числителя и знаменателя, преобразуем последнее выражение к виду

.

Откуда получаем асимптотику , где .

В чистом виде биноминальное распределение возникает в выборке с возвращением, когда вероятность успеха каждого испытания не зависит от результатов других испытаний и является величиной постоянной.Числовые характеристики биномиального распределения имеют вид: ; .

В предельном случае, когда количество опытов n в испытаниях неограниченно возрастает, а вероятность успеха q неограниченно убывает, но так, что их произведение  имеет конечный  предел: .

Перепишем биномиальный закон в виде

Первые три сомножителя на основании второго замечательного предела дадут . Последний сомножитель при конечном k стремится к 1. Логарифмируя оставшийся сомножитель, получим

 .

Таким образом, для распределения числа редких событий получаем асимптотику в виде распределения Пуассона: .

Помимо рассмотренного «предельного» случая, распределение Пуассона (распределение вероятностей редких событий) является одним из фундаментальных результатов во многих других приложениях теории вероятностей (теория надежности, теория случайных процессов и т.д.). У пуассоновской CB среднее и дисперсия равны между собой:

3. Муавр, а позднее независимо от него Лаплас исследовали биномиальное распределение при больших n и установили приближенную формулу (теорема Муавра-Лапласа):                               

При этом дискретные точки нормированной CB  располагаются на числовой оси настолько тесно, что ряд в функции распределения можно заменить интегралом:

 где ,

а    нижний предел в интеграле при больших  можно положить равным  – ¥.

Функция, стоящая под интегралом  называется плотностью распределения стандартной нормальной случайной величины.

Функцию распределения CB  удобнее представить в виде , где  – функция Лапласа,

или интеграл вероятностей, определяется уравнением
                              

Таким образом, можно осуществить переход от дискретных CB к непрерывным, важнейшей из которых является именно нормальная CB.

Плотность распределения и числовые характеристики CB X, связанной с CB Z отношением X=sZ+m , имеют следующий вид:

; ;

Глава 1. Теоретические основы статистического моделирования случайных процессов