Управление сложными системами. Типы управления

Управление – совокупность действий, направленных от субъекта управления к объекту (ОУ) и обеспечивающих движение системы от некоторого начального состояния  к конечному , при котором достигается цель.

Задача субъекта управления (СУ) состоит в выработке управляющих воздействий, приводящих ОУ к цели.

Пусть ОУ является некоторая система, - вектор характеристик ее состояний в момент времени ,  - область состояний, характеризующая цель системы. Тогда процесс управления состоит в выработке последовательности управляющих воздействий , приводящих систему к целевой области  (см. схему 5).

Схема 5. Управление системой

Классификацию типов управления будем проводить по виду связи между воздействием на систему и ее реакцией на это воздействие, тогда можно выделить три типа управления:

- жесткое управление или управление без обратной связи;

-управление с обратной связью;

-адаптивное управление.

Жесткое управление характеризуется безукоризненно точным выполнением управляющих воздействий СУ (поток ), даже если отклонение от предписаний СУ привело бы к более быстрому и/или эффективному достижению цели ОУ.

Схема 6. Жесткое управление

        Примером системы с жестким управлением может служить светофор. Состояния, характеризующие данную систему – свет, горящий на светофоре. Управление заключается в переключение света (изменение состояний) и осуществляется такое управление с заданной периодичностью. Причем, даже если состояние светофора – красный свет для пешеходов, а на дороге не наблюдается движения машин, для пешеходов продолжает гореть красный свет.

Управление с обратной связью характеризуется изменением набора управляющих воздействий в зависимости от того, как система реагировала на воздействие в предыдущий момент времени.

Схема 7. Управление с обратной связью

Примером системы с обратной связью может служить автопилот самолета, которому задается курс самолета и автопилот корректирует управление при отклонении от заданного курса. На рисунке представлена траектория движения самолета при корректировке автопилотом высоты полета самолета ( ) в случае отклонения от установленной оптимальной высоты полета ( ). Точками на графике обозначены моменты корректирующих воздействий автопилотом.

Адаптивное управление – особый вид управления, характерный для очень сложных систем (биологический организм, государство). Системы адаптивного управления помимо постоянно функционирующей части имеют резервную систему, которая может взять на себя часть или все функции системы управления. Характерной особенностью таких систем является сверхустойчивость – случайные разрушения части системы не выводят из строя всю систему.

Алгоритм управления сложной экономической системой.

- управляющее воздействие,  - случайные (непредвиденные) влияния внешней среды, - вход (регулярное воздействие внешней среды). На выходе системы оценивается не только произведенный продукт , но и состояние системы .  - выход системы, рассчитанный по модели объекта управления.

         Следует отметить, что . Производственный цикл , - длина производственного цикла. В момент  СУ начинает обдумывать новое воздействие и формирует

Состояние ОУ описывается набором обусловленных экономических характеристик, показателей, определяющих:

1. внутренние производственные возможности ОУ;

2. конкурентоспособность выпускаемой продукции;

3. производительность труда на предприятии;

4. объем выработки, приходящейся на одного работника;

5. физический объем всей выпускаемой продукции;

6. стоимостной объем выпускаемой продукции в действующих ценах

;

7. затраты на рубль товарной продукции

.

Основная формула теории управления с обратной связью и ее приложения. Мультипликатор Кейнса.

    Пусть обратная связь осуществляется с коррекцией сигнала на основе дополнительного элемента системы - регулятора (корректора) .

Схема 8. Управление с обратной связью и регулятором.

Т.о., входной поток теперь увеличивается и становится . Считая, что и - некоторые числа, выведем формулу для выходного потока :

,если , то

.              (1)

Формула (1) – основная формула теории регулирования.

, где

- коэффициент усиления новой системы, влияние преобразователя на вход. Новая система представлена на схеме 8 – такое соединение элементов назовем контуром

Схема 9. Система с контуром

Схема системы с обратной связью любой сложности представима в виде трех элементов: контура, последовательного соединения узлов и параллельного.

В случае последовательного соединения имеем

.

При параллельном соединении узлов сложной системы:

.

Рассмотрим случай, когда , ,  - функции, зависящие от времени, - нелинейные, гладкие функции. Нелинейная зависимость сводится к основной теории в терминах производной.

,   .

Получаем .

Т.о. для нелинейной зависимости мы получаем аналоговую формулу теории управления с обратной связью для скоростей изменения входного и выходного потоков( ).

Мультипликатор Кейнса.

Рассмотрим систему, состоящую из объекта управления (ОУ), субъекта управления (СУ) и внешней среды.

Из внешней среды в ОУ под наблюдением СУ направляются ресурсы в размере , а также неизвестное ОУ случайное воздействие со стороны внешней среды ,  - входной поток от СУ к ОУ.

Пусть на ОУ поступают определенные финансовые ресурсы , которые используются на накопление (капиталовложение)  и потребление : . Тогда прирост финансовых ресурсов распределяется следующим образом , в то же время финансовые ресурсы увеличиваются при увеличении инвестиций ,  - величина прироста финансового ресурса приходящегося на единицу прироста накоплений. Получаем ,

где - предельная склонность к потреблению, доля прироста потребления во всем приросте финансов.

Т.о. , т.е. увеличивая долю потребления, мы повышаем эффективность инвестиций – парадокс Кейнса. Величина - мультипликатор Кейнса. Чем больше предельная склонность к потреблению, тем выше коэффициент мультипликации. Величина мультипликации — это результат прироста доходов и соответственно спроса в инвестиционных и сопряженных с ними отраслях.

Схема системы имеет вид

Схема 9. Мультипликатор Кейнса

Т.о. основная формула теории регулирования (1) в данном случае записывается

                                (2).

Пример 1. Рассмотрим экономическую систему, в которой предполагается, что экономический цикл повторяется неограниченное число раз. Кроме того, в каждом периоде инвестиции постоянны и равны , а потребление составляет постоянную долю ( ) от конечного продукта , произведенного в предыдущем периоде.

,

,

,

…

,

Тогда предельный прирост конечного продукта рассчитывается по основной формуле теории регулирования .

Данная модель предложена Каном и Кларком.

Пример 2. Рассмотрим модель Леонтьева в матричном виде .

Очевидно, что функционирование экономической системы, описываемой моделью Леонтьева, может быть представлена следующей схемой с контуром

,здесь -матрица полных затрат.

Пример 3.

Экономическая система выпускает продукцию , используя основной капитал  и трудовые ресурсы . Финансовый ресурс на начало года формирует основной капитал и потребление в году . С другой стороны, финансовый ресурс в конце года учитывает выпущенную в году  продукцию  и капитал :  . Прирост финансовых средств пропорционален приросту капитала . Необходимо рассчитать мультипликатор Кейнса.

Выпишем модель, соответствующую сформулированной задаче.

Полученная модель называется моделью Лурье. Рассчитаем мультипликатор Кейнса. , - предельная склонность к потреблению (доля прироста потребления в приросте финансовых средств).

Пример 4. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой

Обозначим - подсистему из усилителей , тогда для системы  получаем . Для исходной системы подсистема  является регулятором и, согласно основной формуле теории регулирования, получаем

.

Задачи

1.Рассматривается система с контуром. Коэффициент усиления входного сигнала . Каким должен быть усилитель , чтобы входной сигнал усиливался в 100 раз.

2. Необходимо с помощью контура усилить сигнал в раз, при этом плата за усиление в системе  равна , в регуляторе - . Каковы оптимальные усиления и . (Замечание: считается, что , , -заданные параметры).

3. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой

4. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой

5. Рассчитайте предельную склонность к потреблению и мультипликатор Кейнса по модели Лурье для отрасли «Сельское хозяйство» Воронежской области, если известны следующие характеристики отрасли: производственная функция – функция Кобба-Дугласа  с параметрами , , . тыс.руб. Ресурсы отрасли приведены в таблице (в тыс.руб.).