Оценка качества объекта на основе коэффициентов «трудности»

Подход к измерению характеристик качества на основе коэффициентов трудности был предложен М.К. Бабунашвили, М.А. Бермантом, И.Б. Руссманом, которые при определении влияния качества ресурсов на качество результата функционирования системы выяснили, что оценивание результата существенно зависит от предъявляемых к нему требований.

    Введем обозначения, которые в дальнейшем будем использовать:

- качество -й компоненты комплексного ресурса, ;

-требование к качеству -й компоненты комплексного ресурса, индуцированное требованиями к качеству результата, , , ;

 - интегральное качество комплексного ресурса, ;

- требование к качеству комплексного ресурса, , ;

-результат, получение которого является целью функционирования организационной системы; - качество результата, ;

- требование к качеству результата, , ;

 - парциальная трудность получения результата, удовлетворяющего требованию  при условии, что качество -й компоненты комплексного ресурса равно , а требование к нему , ;

 - общая трудность достижения результата, ;

 - мера несоответствия качества полученного результата предъявляемым к нему требованиям, .

  Понятие трудности возникло из соображений о том, что получить результат определенного качества тем труднее, чем ниже качество ресурса или чем выше требования к качеству результата (при прочих равных условиях). Трудность выступает как обобщенная характеристика качества (некачественности) ресурса, учитывающая не только его свойства, но и требования, предъявляемые к нему системой.

  Предположим, что мы располагаем объектом, который может быть охарактеризован двумя свойствам, или комплексным ресурсом, состоящим из двух компонент. Положим также, что их качественные оценки имеют значения  и , причем  и - не оценки качества  и . В то же время они могут быть оценками качества, выраженными через трудности  и . Обобщенная оценка будет: .

Сформулируем некоторые свойства, которым должна удовлетворять .

1. =  - свойство коммутативности оценок;

2. =  - свойство ассоциативности;

3. , , , ,  - если каждое из свойств объекта имеет нулевую или единичную оценку, то и обобщенная оценка будет соответственно равна нулю или единице. При этом все значения обобщенной оценки лежат в интервале ;

  4. .

  Теорема. Единственной целой аналитической функцией от двух переменных , удовлетворяющей условиям 1-4, является

   В дальнейшем удобно оперировать с трудностью как с обобщенной характеристикой качества, получая из неё в случае необходимости значения  и . Таким образом, если под  понимается трудность  получения результата при условии, что качества компонент комплексного ресурса характеризуются парциальными трудностями  и , то

,                 

Для случая  компонент комплексного ресурса имеем

.                   

Рассмотрим теперь форму зависимости парциальной трудности  от требований к качеству -й компоненты.

Очевидно,  должно обладать следующими свойствами:

 а)  при  должна быть максимальной, т.е. равной единице. Действительно, трудность получения результата максимальна при предельно низком допустимом значении качества;

б) величина  при    и  должна быть минимальной, т.е. равной нулю. Действительно, при предельно высоком возможном значении качества независимо от требований (при ) трудность должна быть минимальной;

в)  при  и  должна быть минимальной, т.е. равной нулю. Это очевидно, т.к. если к качеству компоненты ресурса не предъявляется никаких требований, а  больше нуля, то трудность получения результата по этой компоненте должна быть минимальной.

Этим трем условиям удовлетворяет функция вида

при .              

Полагаем также, что  при  и  при .

Исследования полученной зависимости на основании вероятностной трактовки величин ,  и , а также с помощью теоремы о виде обобщенной оценки показывают, что зависимость, удовлетворяющая условиям а) - в), является единственной.

Итак, парциальная трудность , может рассматриваться как относительная оценка качества (некачественности) компоненты ресурса или отдельного свойства объекта с учетом требований, предъявляемых к компоненте или к этому свойству.

Рассмотрим далее вопрос о получении обобщенных оценок качества комплексного ресурса системы и требований к нему. Для этого введем арифметические операции над трудностями:

Таблица. Обобщенные операции

Название операции	Обозначение, аналитический вид
обобщенное сложение
обобщенное умножение
n-арное сложение
n-арное умножение
умножение на неотрицательное число
обобщенное возведение в степень ( )
обобщенное вычитание ( )
обобщенное деление

Введенные обобщенные операции образуют алгебраическую систему на множестве [0,1] с единичным элементом .

На основе данных операций, по аналогии с производственными функциями, можно ввести квалитативные функции , показывающие меру несоответствия качества полученного результата предъявляемым к нему требованиям. 

Данная функция построенная с помощью обобщенных операций будет удовлетворять следующим условиям:

  1) если парциальная трудность по какой-либо -й компоненте равна единице, то и мера несоответствия качества результата требованиям тоже равна единице

влечет ;

2) если парциальная трудность по какой-либо компоненте равна нулю, то мера несоответствия не зависит от трудности по этой компоненте;

По аналогии с производственными функциями можно ввести следующие виды квалитативных функций:

1) с нулевой эластичностью замены     

 здесь коэффициенты  аналогичны коэффициентам фондоемкости.

2) линейная функция

    , .          

3) функция Кобба-Дугласа

.                  

4)  функция CES (c постоянной эластичностью замены)

.

Параметры квалитативных функций могут быть найдены, например, нелинейным методом наименьших квадратов на основе предыстории функционирования рассматриваемой системы.

Таким образом, для определения качества получаемого продукта можно использовать квалитативные функции. Для одновременного учета как количественной, так и качественной характеристик выпускаемой продукции предлагается использовать производственно-квалитативные функции.

Пример 1. Рассматривается производство продукта с использованием двух ресурсов ( ). Известны количественные характеристики ресурсов ( ) и возможные границы их изменения ( ), влияющие на качество ресурса. Необходимо рассчитать качество, выпускаемого продукта ( ) на основе понятия «трудности».

    Рассчитаем минимальные требования к качеству ресурсов и текущее значение качества ресурса.

: , ,

: , .

Тогда величина трудности 

: , .

Таким образом, качество второго ресурса не влияет на качество выпускаемого продукта, поскольку к нему не предъявляются требования ( ), убедимся в этом. По формуле для оценки трудности по компонентам комплексного ресурса ( ), получаем

, .

Т.е. ожидаемое качество продукта - 0,67. Для повышения качества необходимо увеличить качество ресурсов ( ) или снизить требования к качеству ( ) .

Пример 2.

Распишем квалитативную функцию Кобба-Дугласа через стандартные арифметические операции

.