Однокритериальная статическая задача в условиях неопределенности

Задача разработки управленческого решения в условиях неопределенности в отличие от задачи в условиях риска возникает в том случае, когда мы не располагаем никакой статистической информацией о параметрах случайных величин, не имеем их выборок и, как следствие, не можем составить или получить выражение для функции распределения, определить моменты и т.п. Поэтому рассчитать вероятность получения определенного значения показателя эффективности оказывается невозможным, хотя он и принимает случайные значения в каждом конкретном эксперименте при его многократном повторении.

Можно выделить два случая, характеризующих вероятность получения определенного значения критериальной функции. Во-первых, эти вероятности могут не иметь физического смысла, поскольку входящие в задачу неопределенные факторы имеют не стохастическую природу. К их числу относятся стратегические неопределенности, объясняющиеся участием в задаче нескольких разумных сторон, преследующих, в частности, противоположные цели. Неопределенность в задаче возникает потому, что нам неизвестны действия, которые будут предприняты сторонами (противником), и мы должны принимать решение в отсутствие полной информации. Кроме этого, в задаче могут возникать концептуальные неопределенности, связанные с принятием особо сложных решений и вызванные нечетким представлением о собственных целях и возможностях, целях и возможностях других сторон. Во-вторых, на решение задачи могут оказывать влияние стохастические неопределенности, возникающие из-за отсутствия информации о характере влияющих процессов, но не предусматривающие разумного вмешательства. В этом случае обычно говорят о воздействии природы на решение задачи, предполагая при этом отсутствие точек излома и разрыва и наличие инерционности в характеристиках мешающих факторов.

Наиболее сложным случаем для выработки управленческого решения является ситуация, когда у нас полностью отсутствует любая (в том числе и экспертная) информация о вероятностях возможных состояний природы. В этом случае решение приходится принимать исходя из анализа платежной матрицы или матрицы рисков. Согласно максиминному критерию Вальда выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем

.

Данный критерий ориентирует на наихудшие условия и рекомендует выбирать стратегию, для которой в самом тяжелом случае выигрыш максимален. Обычно критерий Вальда называют критерием крайнего пессимизма.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации. Сущность критерия Сэвиджа – любыми путями минимизировать риск. Критерий Сэвиджа также относится к критериям крайнего пессимизма, однако в этом случае в отличие от критерия Вальда худшим считается не минимальный выигрыш, а максимальная его потеря (максимальный риск)

.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица рекомендует при выборе решения выбирать нечто среднее между крайним пессимизмом и оптимизмом

В этом выражении  введенный Гурвицем некий коэффициент (мера пессимизма), выбираемый экспертным путем из интервала между 0 и 1. Очевидно, что при  критерий Гурвица превращается в критерий Вальда.

Математически задача разработки управленческого решения в условиях неопределенности может быть записана в виде

где  - конкретная реализация неопределенного фактора. Неконтролируемые переменные  принимают случайное значение и могут относиться либо к категории не стохастических (игры с противником), либо стохастических (игры с природой) случайных величин.

Основные методы решения задач в условиях неопределенности разработаны в математической теории игр [3, 10]. Предполагается, что правила игры известны всем ее участникам и обязательно выполняются. Каждый случай игры называется партией. Элементами партии являются ходы, которые могут быть личными (сознательное действие) и случайными. Каждый из игроков руководствуется совокупностью правил, однозначно определяющих выбор его ходов, называемую стратегией. Число таких стратегий может быть конечным или бесконечным. Результатом игры является выигрыш или проигрыш игроков. Например, если в игре участвуют только два игрока, преследующие прямо противоположные цели, то выигрыш одного игрока означает точно такой же проигрыш другого. Такая игра называется парной антагонистической игрой с нулевой суммой.

Игры с противником.

Рассмотрим задачу разработки управленческого решения с одним неопределенным фактором , принимающим только два возможных значения  при выборе противником соответственно стратегий  и . Заметим, что хотя мы не знаем, какие конкретно значения на практике будут принимать неопределенные факторы, но мы можем предположить, что они примут определенные значения и вести дальнейшие рассуждения в отношении именно предполагаемых нами значений . Будем считать, что этот фактор влияет на критериальную функцию  или на ограничения . Найдем два оптимальных решения  и , с учетом двух возможных и предполагаемых нами стратегий противника  и  соответствующие выражениям

Полученные решения  и  представляют собой наши наилучшие действия (стратегии)  и  в том случае, когда мы угадали дальнейшее развитие событий. Используя уже полученные решения  и , рассчитаем значения показателя эффективности при условии, что мы не угадали ответ противника:

Занесем полученные значения в так называемую платежную матрицу, где строки  и  представляют собой наши возможные стратегии, а столбцы  и  возможные стратегии противника

Стратегии

Очевидно, что аналогичная матрица может быть построена и при большем числе возможных стратегий , а также при большем числе неопределенных факторов .

Отыщем решение игры, пользуясь методами теории игр. Найдем нашу оптимальную стратегию, не зависящую от действий противника. В этом случае возникает вопрос о выборе критерия оптимальности. Например, в качестве используемой стратегии можно выбрать стратегию, которая приносит возможный максимальный выигрыш. Такая стратегия может оказаться весьма рискованной, поскольку в конкретной ситуации противник может ответить стратегией, приводящей к большему проигрышу. Более разумным представляется воспользоваться стратегией, которая минимизирует наш возможный проигрыш. Обозначим  минимальный выигрыш при выборе стратегии  при всех возможных стратегиях противника

.

Из всех возможных наших стратегий выберем стратегию, которая обеспечит нам наибольшее значение нашего минимального выигрыша

.

Назовем  нижней ценой игры (наш гарантированный выигрыш при любой стратегии противника).

Если цели игроков противоположны, что имеет место в антагонистической игре, то противник заинтересован уменьшить наш выигрыш, и будет выбирать соответствующие стратегии. Вполне естественно предположить, что противник владеет методами оптимизации и теории игр и в свою очередь проводит аналогичные вычисления. Тогда полученная им платежная матрица будет иметь другие числовые значения, но ее смысл в отношении выбираемых стратегий не изменится. Поэтому мы можем анализировать возможные стратегии противника исходя из имеющейся у нас нашей платежной матрицы. Очевидно, что все это справедливо только в том случае, когда мы рассмотрели все возможные стратегии противника.

Примечание. Если противник не будет пользоваться оптимальными методами, то это просто приведет к его дополнительному проигрышу.

Найдем наш максимальный выигрыш при каждой стратегии противника

.

Для того чтобы минимизировать свой проигрыш, противник выберет стратегию, в которой наш выигрыш минимален

.

Назовем выигрыш  верхней ценой игры. Очевидно, что если по каким-то причинам противник не воспользовался своей оптимальной стратегией, то наш выигрыш только возрастет. Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то их значение  называют чистой ценой игры

.

Стратегии, соответствующие чистой цене игры, называются чистыми, а их совокупность дает оптимальное решение. Используя оптимальное решение, мы получаем минимальный гарантированный выигрыш  независимо от поведения противника. Пара чистых стратегий  и  дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий им элемент  является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация называется седловой точкой, а соответствующая ей игра - игрой с седловой точкой.

Если седловая точка в платежной матрице отсутствует, то существует несколько наших чистых стратегий и стратегий противника, позволяющих получить цену игры. Выбор нами одной из стратегий наталкивается на естественное противодействие противника, желающего минимизировать свой проигрыш и выбирающего ответную стратегию с учетом информации о нашем выборе. Это обстоятельство приводит к тому, что мы вынуждены хранить свой выбор в тайне и, кроме этого, чередовать свои стратегии при многократном повторении игры по случайному закону. Если так не делать, то противник привыкнет к тому, что мы играем одинаково, и с учетом этого будет строить свою игру. Смешанной стратегией  называется применение стратегий , ,...,  с вероятностями , ,…, , причем

. (8)

Будем записывать смешанные стратегии в виде матрицы

,

или в виде вектора . Смешанные стратегии противника запишем аналогично, обозначая соответствующие вероятности буквой :

,

,

или . Найдем оптимальную стратегию , обеспечивающую нам средний выигрыш не меньший, чем цена игры  ( ). Математическое ожидание нашего выигрыша при реализации противником стратегии  

.

Если  - цена игры, то при условии  имеем набор  ограничений

.

Учитывая (8), будем искать набор , обеспечивающий максимальную цену игры , для чего сделаем замену переменных . Запишем итоговые выражения для целевой функции и ограничений задачи оптимизации выбора стратегий

и решим задачу линейного программирования. Элементы нашей оптимальной смешанной стратегии  определяются подстановкой . Оптимальная смешанная стратегия противника определяется аналогично:

а задача линейного программирования формулируется в виде

Тогда результатом решения задачи разработки управленческого решения будет последовательность наших стратегий, реализуемых по случайному закону с заданными вероятностями их появления.