ТЕМА 7. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Формула прямоугольников.

 Пусть отрезок [a,b] разбит на n равных частей длины h=(b-a)/n, и в качестве точек ξ_k выбраны средние точки соответствующих отрезков: ξ_k = a + h(k – 1/2) (k=1,2,…,n). В этом случае выражение для интегральной суммы примет вид:

I_n = (f(ξ₁) + f(ξ₂) + … + f(ξ_n))(b-a)/n                           (7.1)

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то

                               (7.2)

Согласно этой формуле выражение для интеграла J можно записать в виде J=I_n + α_n, причем =0. Пренебрегая величиной a_n , получают приближенную формулу для вычисления интеграла J, которую и называют формулой прямоугольников:

        (7.3)

Таким образом, интеграл J – это площадь фигуры криволинейной трапеции, а интегральная сумма, которой приближенно аппроксимируется интеграл, – площадь фигуры, составленной из прямоугольников.

.

Вид ступенчатой фигуры показан на рисунке.

Формула трапеций.

Предположим, что отрезок [a,b] разбит на n равных частей длины h=(b-a)/n точками x_k=a+kh (k=0,1,2,…,n, x₀=a, x_n=b). При этом, на каждом из отрезков [x_k-1, x_k] определим линейную функцию такую, что в граничных точках она принимает те же значения, что и функция f(x). Обобщая эту линейную функцию на n отрезков, можно выписать линейную функцию g_n(x):

)              (7.4)

xÎ[x_k-1, x_k], k=1,2,…,n

Ее график представляет собой ломаную линию, начальная, конечная и угловые точки которой принадлежат также графику функции f(x).

С увеличением n число общих точек графика растет и ломаная y=g_n(x) приближается к линии y=f(x).

Интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции g_n(x), осью х и вертикальными линиями x=x_k-1, x=x_k. В этом случае фигура является трапецией и, соответственно, полученная формула показывает площадь этой трапеции.

Переходя ко всему отрезку [a,b]:

           (7.5)

Формула трапеций имеет второй порядок точности.

Формула Симпсона.

Идея замены графика функции f(x) на отрезке [x_k-1, x_k] линейной функций была использована Симпсоном, который предложил в качестве функции g_n(x) использовать полином второго порядка. Тогда интеграл J будет равен:

J»I_n=(f(a)+4f(x₁)+2f(x₂)+…+2f(x_n-2)+4f(x_n-1)+f(b))(b-a)/(3n)

Единственное условие для возможности применения формулы Симпсона для приближенного расчета интеграла – это четное число отрезков разбиения, то есть n-четно.

На данном рисунке количество частей разбиении исходного отрезка равно четырем – четное число.

Поскольку аппроксимирующая функция более гладкая по сравнению с другими, то порядок формулы равен 4-м.

Пример 7.1.

Найти интеграл   по формулам при n=10:                                          

а) Ньютона-Лейбница; б) прямоугольников; в) трапеций; г) Симпсона.

Решение.

Приведем графическую интерпретацию поставленной задачи.

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной слева прямой х=2, справа – прямой х=3, снизу – осью абсцисс, а сверху – графиком функции y=x².

А) Используя формулу Ньютона-Лейбница, получается:

=3³/3 – 2³/3 = 19/3 = 6,3333    

Б) Для наглядности решение поставленной задачи по формуле прямоугольников приведем в виде таблицы:

Ошибка расчета составит: Er=|6,3333-6,3325|=0,0005.

В) Аналогично представим расчет по формуле трапеций в виде таблицы:

Ошибка расчета составит: Er=|6,3333-6,3350|=0,0020.

Г) Таблица для формулы Симпсона:

Ошибка расчета составит: Er=|6,3333-6,3333|=0,0000.

Как видно из приведенного примера, наилучшее приближение к значению интеграла, найденного по формуле Ньютона-Лейбница, имеет формула Симпсона.