Описание метода экспоненциальной регрессии

Достаточно много статистических моделей описывается экспоненциальным законом распределения случайной величины, поэтому в Excel разработан специальный метод для построения и анализа подобных моделей — с помощью статистической функции ЛГРФПРИБЛ.

Функция ЛГРФПРИБЛ вычисляет коэффициенты экспоненциальной кривой, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные, а также выдает дополнительную регрессионную статистику. Функция возвращает массивзначений, который описывает полученную кривую. Поскольку данная функция возвращает массив значений, она должна вводиться как формула массива.

y = b ∙ m^x или

y = (b ∙ (m1^x1) ∙ (m2^x2) ∙...) (в случае нескольких переменных x1, х2, ...),

Синтаксис функции:

ЛГРФПРИБЛ(известные_y; [известные_x]; [константа]; [статистика])

Известные_y. Обязательный аргумент. Множество значений y, которые уже известны для соотношения y=b ∙ m^x.

Известные_x. Необязательный аргумент. Множество значений x, которые уже известны для соотношения y=b ∙ m^x. Если аргумент известные_x опущен, то предполагается, что это массив {1;2;3;...} такого же размера, как и известные_y.

Константа. Необязательный аргумент. Логическое значение. Если аргумент Константа = 0, то b принудительно полагается равным единице, т.е. y=m^x. Если аргумент Константа имеет значение ИСТИНА или опущен, то b вычисляется обычным образом.

Статистика. Необязательный аргумент. Логическое значение. Если аргумент Статистика = 0 или опущен, то вычисляются только коэффициенты m и b, а если = 1, то выдаётся ещё и дополнительная статистика по регрессии.

Экспоненциальная модель надёжности описывается уравнением (2.17):

Y = C ∙ m^x                                                 (2.17)

В нашем случае неизвестной зависимой величине Y соответствует Р_Т(t),а величине хсоответствует t. Параметр т определяется формулой (2.18):

m = e^-λ                                                                 (2.18)

Поэтому искомый параметр — интенсивность потока отказов определяется соответствующим выражением (2.19) через натуральный логарифм:

λ = -ln(m)                                            (2.19)

Отсюда происходит название функции ЛГРФПРИБЛ — ≪логарифм приближенный≫.

Данный метод позволяет получить полную статистику экспоненциальной регрессии.

2.4  Описание выбора оптимального метода моделирования и модели надежности магистрального трубопровода на базе корреляционного анализа в Microsoft Excel 2007

При оценке надежности технических систем одной из важных задач является исследование стохастической (вероятностной) зависимости между изучаемыми переменными. Зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией. Корреляционная связь — это согласованное изме­нение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью дру­гого. Для количественной оценки связи между изучаемыми переменными используются показатели корреляции. Линейный коэффициент корреляции характеризует степень зависимости между двумя коррелируемыми признаками.

Термин «корреляция» был введен в науку выдающимся анг­лийским естествоиспытателем Френсисом Гальтоном в 1886 г. Однако точную формулу для подсчета коэффициента корреля­ции разработал его ученик Карл Пирсон.

Коэффициент характеризует наличие только линейной свя­зи между признаками, обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что, если связь между признаками имеет ли­нейный характер, коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. Поэтому он называется также коэффициен­том линейной корреляции Пирсона. Если же связь между пере­менными X и Y не линейна, то Пирсон предложил для оценки тесноты этой связи так называемое корреляционное отношение.

Величина коэффициента линейной корреляции Пирсона не может превышать +1 и быть меньше чем -1. Эти два числа +1 и -1 — являются границами для коэффициента корреляции. Когда при расчете получается величина большая +1 или меньшая -1 — следовательно произошла ошибка в вычислениях.

Знак коэффициента корреляции очень важен для интерпре­тации полученной связи. Подчеркнем еще раз, что если знак ко­эффициента линейной корреляции — плюс, то связь между кор­релирующими признаками такова, что большей величине одного признака (переменной) соответствует большая величина дру­гого признака (другой переменной). Иными словами, если один показатель (переменная) увеличивается, то соответственно уве­личивается и другой показатель (переменная). Такая зависимость носит название прямо пропорциональной зависимости.

Если же получен знак минус, то большей величине одного признака соответствует меньшая величина другого. Иначе гово­ря, при наличии знака минус, увеличению одной переменной (признака, значения) соответствует уменьшение другой пере­менной. Такая зависимость носит название обратно пропорцио­нальной зависимости.

В общем виде формула для подсчета коэффициента корреля­ции такова:

где  - значения, принимаемые в выборке Х,  - значения, принимаемые в выборке Y;  - средняя по Х,  - средняя по Y.

Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать или убывать по линейному закону. Если две исследуемые случайные величины X и Y связаны точной линейной функциональной зависимостью, то коэффициент корреляции равен ±1, т. е. R_XY = ±1. Знак «минус» означает, что при возрастании одной случайной величины другая убывает.

В общем случае, когда случайные величины X и Y связаны произвольной вероятностной зависимостью, линейный коэффициент корреляции R_XY принимает значение в пределах от 1 до -1 (-1 < R_n < 1). Тогда оценка корреляции случайных величин может быть определена по шкале Чеддока, приводимой в таблице 1 в зависимости от значения коэффициента корреляции R_XY.

Таким образом, по значению коэффициента корреляции можно проверить соответствие построенных теоретических моделей статистическим моделям.

Комплекс методов статистической обработки данных, представленный в виде пунктов меню «Анализ данных» в Excel, позволяет проводить анализ статистических данных. Каждый метод реализован в виде отдельного режима работы.

Таблица 2.2 Шкала Чеддока

Достоверность построенных моделей надежности трубопровода проверяется с помощью метода «Корреляция».