Геометрический смысл векторного произведения

Из определения 7 следует, что  есть площадь параллелограмма, построенного на векторах  и . Площадь треугольника, построенного на векторах  и , определяется как .

3. Векторное произведение векторов,

Заданных координатами

Возьмем два вектора в , заданных своими проекциями: , .

Векторное произведение этих векторов:

. Заметим (рис. 2), что , , , , , , , , , так как это базисные векторы. Тогда = = =

 .     (9)

Следствие !!! Из (9) и 4-го свойства определителя следует, что

 .                             (10)

4. Смешанное произведение векторов

Определение 8.

Смешанным, или векторно-скалярным, произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению векторного произведения двух первых векторов на третий и обозначается  или .

По определению 8 .

4.1. Свойства смешанного произведения

1) ;2)  (круговая перестановка).

Геометрический смысл смешанного произведения

Построим на основании трех векторов , и параллелепипед (рис. 3). Обозначим . Модуль =  – площадь основания параллелепипеда. Тогда   = , где  – высота параллелепипеда, – его объем. Окончательно

   .                          (11)

4.3. Смешанное произведение векторов в координатной форме

Запишем векторное произведение через координаты (9). Согласно правилу скалярного умножения векторов получим

 . (12)

4.4. Условие компланарности трех векторов

Из геометрического смысла три вектора , и  компланарны тогда и только тогда, когда объем параллелепипеда, образованного этими векторами, равен нулю. То есть все три вектора лежат в одной плоскости. Следовательно, смешанное произведение этих трех векторов также равно 0. То есть  

компланарны  или . (13)

Заключение

В лекции введено понятие квадратной матрицы и ее определителя. В следующей лекции понятие матрицы будет обобщено и показано ее практическое применение для решения систем линейных уравнений. Понятием смешанного произведения векторов и его геометрическим смыслом тема векторной алгебры закрывается. Отметим следующее:

- определитель (число) существует только для квадратных матриц;

- в матрице можно осуществлять линейные операции над строками и столбцами без изменения определителя;

- перемена строк или столбцов меняет знак определителя;

- определители матриц с коэффициентами в виде координат векторов определяют векторные и смешанные произведения;

- направление векторного произведения находится по правилу правого винта;

- модуль векторного произведения – это площадь параллелограмма;

- смешанное произведение векторов – это объем параллелепипеда;

- два вектора параллельны, когда detA=0;

- три вектора компланарны, когда detA=0.

Литература

1. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Факториал пресс, 2000. – 208 с.

2. Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: 2001.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: ВШ,1998.

Матрицы

Общее определение матрицы

Действия над матрицами

Обратная матрица

4. Ранг матрицы

5. Преобразование координат

Цели занятия:расширить понятие «матрица» на общий случай разного количества строк и столбцов; научиться производить действия над матрицами, осуществлять их элементарные преобразования, находить ранг и обратную матрицу; научиться преобразовывать системы координат.

Роль и место лекции

Предлагаемые сведения будут необходимы для восприятия темы «системы линейных уравнений». Понятия ранга матрицы и обратной матрицы являются фундаментальными при решении систем линейных уравнений. Понимание элементарных преобразований матриц указывает на их тесную взаимосвязь с системами уравнений. Матричный математический аппарат непосредственно используется при преобразовании координат и в теории тензорного исчисления.

1. Общее определение матрицы

Определение 1.

Прямоугольная таблица элементов любой природы, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей порядка .

. (1)

Если m=n, то А – квадратная матрица.

Определение 2.

Если определитель квадратной матрицы равен нулю, матрица называется вырожденной, если не равен – не вырожденной матрицей.

Определение 3.

Матрица, содержащая только одну строку, называется матрицей-строкой или строчной матрицей. Ее можно рассматривать как вектор

.

Матрица, содержащая только один столбец, называется матрицей-столбцом или столбцовой матрицей

.

Определение 5.

Матрица , полученная из А заменой строк столбцами, называется транспонированной.

; .

Определение 6.

Две матрицы одного порядка называются равными, если соответствующие элементы матриц равны.

Матрицы и  равны А=В, если .

2. Действие над матрицами