Плоскость и ее основные уравнения

Уравнение поверхности

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

Общее уравнение плоскости и его исследование

4. Уравнение плоскости в отрезках

5. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

6. Угол между двумя плоскостями

7. Расстояние от точки до плоскости

Роль и место лекции

В предыдущей лекции закончена тема «Матрицы и системы линейных уравнений». Лекцией 11 открывается тема «Аналитическая геометрия». Ее цель – научиться получать аналитические зависимости между координатами точек пространства. Однако знания, полученные по теории матриц, необходимы и в этой теме, например представление плоскости, проходящей через три заданные точки. Знания, полученные по системам линейных уравнений, необходимы при решении вопроса о пересечении плоскостей и. т.д. В данной теме пригодятся знания и векторной алгебры.

1. Уравнение поверхности

Определение 1.

Поверхность – это совокупность точек, обладающих общим свойством.

Математически это общее свойство выражается уравнением, связывающим координаты точек поверхности. В  уравнение поверхности задается в общем виде: .

Определение 2.

Уравнение поверхности в  называется уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяет любая точка этой поверхности и не удовлетворяет точка, не принадлежащая ей.

ПРИМЕР 1.

 –  сферическая поверхность. Точка , а .

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку.

 .     (1)

Уравнение (1) есть уравнение плоскости , проходящей через заданную точку  и перпендикулярной вектору нормали  (рис. 1). С учетом того, что вектор  определяется разностью радиус-векторов  и  соответственно , выражение (1) можно записать в векторной форме

 .                   (2)

Вывод !!!

Любая плоскость описывается уравнением первого порядка.

3. Общее уравнение плоскости и его исследование

Возьмем общее уравнение первого порядка и докажем, что ему соответствует плоскость. Для этого приведем его к виду (1). Общее уравнение первого порядка

 .                    (3)

.                           

Сравним с (1) и сделаем вывод, что это уравнение плоскости, проходящей через точку  и . Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости. Плоскость – это поверхность первого порядка. В зависимости от значений A, B, C и D плоскость занимает определенное положение относительно системы координат. Рассмотрим эти случаи.

I. Одна из констант A, B, C равна нулю.

1) Пусть A =0. Тогда . Вектор , (рис. 2).

2) Пусть B =0. Тогда . Вектор , (рис. 3).

3) Пусть C =0. Тогда . Вектор , (рис. 4).

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна координатной оси, одноименной с отсутствующей переменной.  

II. Свободный коэффициент D=0. Следовательно, точка  или . Плоскость проходит через начало координат.

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости отсутствует свободный коэффициент, то плоскость проходит через начало координат.  

III. Одна из констант A, B, C равна нулю и D=0.

1) Пусть A =0. Тогда ,  и ,  (рис. 5).

3) Пусть C =0. Тогда ,  и ,  (рис. 7).

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из переменных и свободный коэффициент, то плоскости принадлежит координатная ось, одноименная с отсутствующей переменной.  

IV. Две из констант равна нулю:

1) Пусть A=B=0. Тогда , или  (рис. 8).

2) Пусть A=C=0. Тогда , или  (рис. 9).

3) Пусть B=C=0. Тогда , или  (рис. 10).

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости отсутствует две из переменных, то плоскость параллельна координатной плоскости, одноименной с отсутствующими переменными. 

1) Пусть A=B=D=0. Тогда , или  (рис. 11).

2) Пусть A=C=D=0. Тогда , или  (рис. 12).

3) Пусть B=C=D=0. Тогда , или  (рис. 13).

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости две из переменных и свободный член отсутствуют, то плоскость есть координатная плоскость, одноименная отсутствующим переменным.  

4. Уравнение плоскости в отрезках.

Возьмем общее уравнение плоскости (3). Обозначим точки пересечения плоскости с координатными осями как:

, , .

Поскольку эти точки принадлежат плоскости, то они должны удовлетворять (3). Подставим значение координат точек в (3) и получим

;

;

.

Подставим эти значения в (3)

 или  .        (4)

Выражение (4) есть уравнение плоскости в отрезках.

ПРИМЕР 2.

Построить плоскость, заданную уравнением .  Приведем это выражение к виду (3)

5. Уравнение плоскости,

проходящей через три заданные точки

Даны три точки плоскости , , . Тогда для любой  можно построить три вектора , ,  (рис. 15). По условию они лежат в одной плоскости, или компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю. Получим уравнение плоскости

 . (5)

 6. Угол между двумя плоскостями

Пусть в  заданы две плоскости  и . Обозначим угол между плоскостями как . Очевидно, что этот угол , где  и . Тогда 

6.1. Условие перпендикулярности плоскостей

 или  .

6.2. Условие параллельности плоскостей

 или  .

ПРИМЕР 3.

Дано: , ,

, .

Расположение плоскостей: , .

7. Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка  и плоскость . Возьмем произвольную точку . Очевидно (рис. 16), что расстояние от точки  до плоскости  определяется проекцией вектора  на вектор нормали . Следовательно,

Так как точка , то . Подставим это значение и получим 

 .                               (7)

Заключение

Отметим следующее:

- вид поверхности определяется видом уравнения и типом пространства;

- уравнения плоскости получаются на основе свойств векторов;

- плоскость в  описывается общим уравнением первого порядка;

- вектор нормали к плоскости определяется координатами ;

- угол между плоскостями определяется на основе скалярного произведения векторов нормалей к плоскостям;

- расстояние от точки до плоскости определяется на основе свойств проекций.

Литература

1. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Факториал пресс, 2000. -208 с.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.

5. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.