Матричный метод, метод Крамера

Определение 1.

Системы с n уравнениями и n неизвестными называются системами вида

,             (1)

где  – коэффициенты системы уравнений,  – свободные члены,  – неизвестные. В более компактном виде систему (1) можно записать как

 .             (2)

,  ,   .

Согласно правилу умножения матриц запишем систему (1) в матричном виде:

 .                      (3)

Определение 2.

Совокупность значений неизвестных , обращающая каждое уравнение системы (1) в числовое равенство, называется решением системы.

Определение 3.

Система называется совместной, если она имеет решения, и несовместной – если решений не имеет.

Определение 4.

Совместная система называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если решений множество.

 Так как основная матрица квадратная, то существует определитель системы

.

Заменим j-й столбец (при коэффициентах ) столбцом свободных членов. При этом получим j-й определитель :

.

1.1. Метод Крамера

Теорема 1 (Крамера).

 .                                   (4)

Доказательство.

Умножим каждое уравнение системы на соответствующие алгебраические дополнения к элементам первого столбца, т. е. первое уравнение (1) умножим на , второе уравнение умножим на , треть уравнение умножим на  и т. д. Результаты умножения сложим и согласно теореме Лапласа получим:

.

Отсюда следует  или . Аналогичным образом, умножая уравнения на алгебраические дополнения последующих столбцов, можно доказать (4) для любого i.

ПРИМЕР 1.

Для системы имеем основную матрицу и определитель

,   .

Запишем соответствующие j-е определители для столбцов

, , .

Тогда решение системы: , , . Решение .

1.2. Матричный метод

Если  системы, то матрица А – невырожденная и существует . Тогда разрешая систему (3) относительно матрицы неизвестных X, получим уравнение

 . (5)

Для системы из предыдущего примера найдем обратную матрицу:

, , , , , , , , . Тогда

,

Результат соответствует методу Крамера.

3. Системы с m линейными уравнениями и n  неизвестными

Определение 5.

Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными называются системы вида

.          (6)

Определение 6.

Расширенной матрицей называется матрица, составленная из основной матрицы путем добавления столбца свободных членов:

 .

Теорема 1 (Кронекера – Капелли).

Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными совместны тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы .

Следствия !!!

1. Если , то система не совместна.

2. Если  (числу неизвестных), то система имеет единственное решение. Для отыскания этого решения берут n уравнений и решают любым методом.

- Пусть .

- За свободные переменные принимают любые  неизвестных.

- Оставшиеся r неизвестных выражают через свободные переменные.

- Свободным переменным придают некоторое значение и находят решение известными методами. Для других значений свободных переменных находят другие решения и т. д.

ПРИМЕР 2.

,  , 

 множество решений. Примем  свободных неизвестных. Пусть . Из второго уравнения . Из первого уравнения ,  или . Запишем решение: .

3. Системы линейных однородных уравнений

Определение 7.

Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если свободные члены равны нулю.

.        (7)

Очевидно !!!

1. Значения  - решение системы (7). Следовательно, однородные системы совместны. Матрицы А~В,так как они отличаются нулевым столбцом, т. е.  и по теореме Кронекера – Капелли система совместна.

2. Если , решений множество и нулевое будет среди них.

Для отыскания ненулевых решений (7) берут любые  уравнений, таких, что коэффициенты образуют . Из этих уравнений r неизвестные также выражаются через остальные , называемые свободными.

.         (9)

Определение 8.

Совокупность решений, полученная на основе полной линейно-независимой системы значений свободных переменных, называется фундаментальной.

ПРИМЕР 3:

, .

Это однородная система ( , ). Примем  свободных неизвестных. Пусть  - свободные. Выразим оставшиеся переменные через свободные переменные. Вычтем из второго уравнения удвоенное первое и получим

.

Из третьего уравнения вычтем первое, умноженное на 6, и получим

.

Тогда система решений имеет вид . Примем значения  такие, что ,  и вектор решения . Примем ,  и вектор решения . Поскольку вектора  и  линейно независимы, множество решений будет определяться линейной комбинацией этих векторов .

4. Метод Жордана – Гаусса

Поскольку , то, если путем элементарных преобразований свести матрицу A к единичной матрице , получим . То есть для решения системы необходимо путем элементарных преобразований свести расширенную матрицу к единичной диагональной. Тогда столбец свободных членов примет значения, соответствующие решению

~ .

Таким образом, последний столбец соответствует решению системы линейных уравнений . Если в системе уравнений , то принимаются определенные значения  свободных переменных в соответствии с (9). Полученные коэффициенты добавляются к столбцу свободных членов и решения находятся по описанному выше алгоритму.

ПРИМЕР 4.

, ~

~ ~ ~ ~ ~ .

Ответ сходится с решением методом Крамера.

В лекции введено понятие «система линейных уравнений». Для правильного ее решения важно понимать и уметь вычислять определитель и ранг обычной и расширенной матриц. При возникновении затруднений в этом вопросе рекомендуется вернуться к двум прошлым лекциям. Видно, что методов решений множество. Далеко не все здесь представлены. Так метод матриц компактен, но не нагляден. Методы Крамера и Жордана – Гаусса более наглядны, однако необходимо большое количество операций при вычислении. За счет однотипности операций метод Жордана – Гаусса легче переводится на языки программирования. Известный еще со школы метод непосредственной подстановки наиболее нагляден и прост, но и он требует наибольшее количество вычислений, и переложить его на язык программирования практически невозможно. Важно отметить необходимость понятия «фундаментальное» решение. Отметим следующее:

- ранги обычной и расширенной матриц могут быть не равны, и система в этом случае не совместна;

- в случае их равенства решение может быть единственным (квадратная матрица) или их может быть множество (прямоугольная матрица);

- в матричном методе используется обратная матрица;

- в методе Крамера используются дополнительные определители;

- в методе Жордана – Гаусса необходимо свести основную матрицу к единичной;

- в однородных уравнениях правые части равны нулю;

- с помощью фундаментального решения системы однородных уравнений можно получить множество решений.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2001.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа,1998.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.

Лекция 11